Стоящий вертикально цилиндрический закрытый сосуд

[Антон Огурцевич]

6. Стоящий вертикально цилиндрический закрытый сосуд высотой 0,8 м разделён на две части невесомым, скользящим без трения тонким поршнем. На какой высоте установится поршень, если в верхней части сосуда находится гелий, а в нижней – азот. Массы газов в обеих частях равны. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Поршень установится на высоте когда давление верхнего газа станет равно давлению нижнего газа. Для решения задачи запишем уравнение состояния идеального газа.

\[  \begin{align}
  & p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T,\ p=\frac{m}{M\cdot V}\cdot R\cdot T\ \ \ (1),\ {{p}_{1}}={{p}_{2}}=p\ \ \ (2),\ {{m}_{1}}={{m}_{2}}=m\ \ \ (3),\ {{T}_{1}}={{T}_{2}}=T\ \ \ (4), \\
 & \frac{m}{{{M}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}\cdot R\cdot T=\frac{m}{{{M}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}\cdot R\cdot T,\ {{M}_{1}}\cdot {{V}_{1}}={{M}_{2}}\cdot {{V}_{2}}\ \ \ (5),\ {{V}_{1}}=S\cdot (l-{{l}_{2}})\ \ \ (6),\ {{V}_{2}}=S\cdot {{l}_{2}}\ \ \ (7),\  \\
 & {{M}_{1}}\cdot S\cdot (l-{{l}_{2}})\ ={{M}_{2}}\cdot \ S\cdot {{l}_{2}},\ {{M}_{1}}\cdot l-{{M}_{1}}\cdot {{l}_{2}}\ ={{M}_{2}}\cdot \ {{l}_{2}},\ {{l}_{2}}=\frac{{{M}_{1}}\cdot l}{{{M}_{1}}+{{M}_{2}}}\ \ \ (8\ ). \\
 & {{l}_{2}}=\frac{4\cdot {{10}^{-3}}\cdot 0,8}{4\cdot {{10}^{-3}}+28\cdot {{10}^{-3}}}=0,1. \\
\end{align} \]

Где: М₂ – малярная масса молекулы азота, М₂ = 28∙10^-3 кг/моль, М₁ – малярная масса молекулы гелия, М₁ = 4∙10^-3 кг/моль, R = 8,31 Дж/моль∙К – универсальная газовая постоянная, S – площадь поперечного сечения цилиндра, Т – температура газа, V – объем газа.
Ответ: Поршень установится на расстоянии 10 см от нижней точки цилиндра.