Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка

[Антон Огурцевич]

11. Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка радиусом R = 2 см несёт равномерно распределённый по поверхности заряд σ = 1 нКл/м². Определить напряжённость Е поля в точках, отстоящих от оси трубки на расстояниях r₁ = 1 см и r₂ = 3 см. Построить график зависимости напряжённости Е от расстояния r. Сделать рисунки.

[Виктор]

Решение: воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint\limits_{S}{\vec{E}\cdot d\vec{S}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\cdot Q,\text{        }E\cdot S=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}\cdot  \]
Здесь ε₀ = 8,85 ∙ 10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
      В качестве замкнутых поверхностей через которые следует вычислять поток поля следует возьмём соосный цилиндр высотой L.  Для оснований цилиндра –  E = 0, для боковой поверхности зависит от расстояния r. Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра. В этом случае площадь цилиндрического контура на расстоянии x от центра и зависимость напряжённости от расстояния
\[ \begin{align}
  & S=\text{ }2\pi \cdot x\cdot L,\text{      }E\cdot 2\pi \cdot x\cdot L=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}, \\
 & E=\frac{Q}{2\pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot L\cdot x}\cdot  \\
\end{align} \]
Осталось найти заряд Q внутри цилиндра для двух случаев:
1.   0 < x < R, т.е внутри трубки, заряд внутри равен нулю, т.е. E₁ = 0.
2.   x ≥ R , т.е. вне трубки, заряд внутри равен заряду на трубке
\[ \begin{align}
  & Q=\sigma \cdot 2\pi \cdot R\cdot L, \\
 & {{E}_{2}}=\frac{\sigma \cdot R}{{{\varepsilon }_{0}}\cdot x}. \\
\end{align} \]
Конкретное значение в точке x = r₂ = 3 см:
 \[ {{E}_{2}}=\frac{\sigma \cdot R}{{{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}_{2}}}=\frac{1\cdot {{10}^{-9}}\cdot 2\cdot {{10}^{-2}}}{8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 3\cdot {{10}^{-2}}}=75,3 \]
Таким образом, зависимость E(r) напряженности электрического поля от расстояния до оси в общем виде:
\[ E(x)=\left\{ \begin{align}
  & 0,\text{               }x<R; \\
 & \frac{\sigma \cdot R}{{{\varepsilon }_{0}}\cdot x},\text{        }x\ge R. \\
\end{align} \right. \]
После подстановки числовых данных
\[ E(x)=\left\{ \begin{align}
  & 0,\text{               }x<R \\
 & \frac{2,26}{x},\text{        }x\ge R. \\
\end{align} \right.
 \]
График зависимости см. на рисунке.
При x ≥ R, график начинается из точки:
\[ x=R,\text{   }E(x)=\frac{2,26}{2\cdot {{10}^{-2}}}=113. \]
И асимптотически приближается к нулю.
Ответ: Напряжённость поля в точках на расстоянии r₁ = 1 см от оси равна нулю, в точках на расстоянии r₂= 3 см равна E = 75,3 В/м.