Бесконечно длинный провод с током

[Антон Огурцевич]

16. Бесконечно длинный провод с током I = 100 А изогнут так, как это показано на рисунке. Определить направление и величину магнитной индукции В в точке О. Радиус дуги R = 10 см. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: индукцию магнитного поля в точке О можно определить воспользовавшись принципом суперпозиции полей: Индукция магнитного поля системы токов равна геометрической сумме индукций полей создаваемых в этой точке каждым из токов. Разобьем провод на пять частей: два прямолинейных проводника АВ и СD уходящие одним концом в бесконечность, две полуокружности BE и FC радиусами 2R и R соответственно и отрезок FE. Таким образом
\[ \vec{B}={{\vec{B}}_{AB}}+{{\vec{B}}_{CD}}+{{\vec{B}}_{BE}}+{{\vec{B}}_{FC}}+{{\vec{B}}_{EF}}. \]
Магнитная индукция от участков AB и EF равна нулю, т.к. точка О лежит на оси этих проводов, т.е. B_AB = B_EF = 0.
Магнитная индукция кругового тока I радиуса R в центре рассчитывается по формуле
\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}, \]
μ₀=4π•10^-7 Гн/м – магнитная постоянная
Таким образом, учитывая, что это полуокружности, получаем
\[ {{B}_{BE}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot 2R}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{8\cdot R},\text{               }{{B}_{FC}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot R}. \]
Магнитная индукция на расстоянии r от прямолинейного провода длиной l, по которому течёт ток I, определяется по формуле
\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot r}\cdot \left( \cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}} \right), \]
И в нашем случае для участка CD, учитывая, что α₁ = π/2 и α₂ = π, получаем
\[ {{B}_{CD}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}\cdot \left( \cos \frac{\pi }{2}-\cos \pi  \right)=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}\cdot \left( 0-\left( -1 \right) \right)=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}. \]
Причём, если воспользоваться правилом Буравчика, ясно что вектор B_BE направлен от нас, а вектор B_FC направлен к нам, т.е. имеют противоположное направление (оно и понятно – т.к. токи текут в разных направлениях). Вектор B_CD направлен к нам и совпадает по направлению с вектором B_FC. Таким образом, с учётом направлений (за положительное направление выберем «к нам»), суммарная индукция поля будет равна
\[ B={{B}_{CD}}-{{B}_{BE}}+{{B}_{FC}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\pi \cdot R}-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{8\cdot R}+\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot R}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot \left( 2+\pi  \right)}{8\pi \cdot R}, \]
\[ B=\frac{4\pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot 100\cdot \left( 2+3,14 \right)}{8\pi \cdot 0,1}=2,57\cdot {{10}^{-4}}. \]
Ответ: 0,257 мТл.