При газовом разряде в энергосберегающей лампе

[Антон Огурцевич]

32 При газовом разряде в энергосберегающей лампе в смеси паров ртути и аргона происходят столкновения электронов и ионов с нейтральными атомами ртути. Ультрафиолетовое излучение, ис пускаемое возбуждёнными атомами атомами ртути, преобразуется люминофором из внутренней поверхности стеклянной трубки лампы в видимое излучение. Электрон из состояния покоя ускоряется однородным электрическим полем и абсолютно неупруго сталкивается с неподвижным атомом ртути, находящимся в основном состоянии. В результате столкновения атом ртути переходит в возбуждённое состояние и спустя некоторое время излучает фотон с длиной волны λ = 185 нм. Какова минимальная ускоряющая разность потенциалов, которую прошёл электрон перед столкновением? Молярная масса ртути 201*10^-3 кг/моль. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Электрон из состояния покоя ускоряется однородным электрическим полем и абсолютно не упруго сталкивается с неподвижным атомом ртути, находящимся в основном состоянии. Запишем формулу для определения минимальной ускоряющей разности потенциалов, которую прошёл электрон перед столкновением.

\[ A=\frac{{{m}_{e}}\cdot \upsilon _{e}^{2}}{2}\ \ \ (1),\ A=e\cdot U\ \ \ (2),\ \frac{{{m}_{e}}\cdot \upsilon _{e}^{2}}{2}=e\cdot U,\ U=\frac{{{m}_{e}}\cdot \upsilon _{e}^{2}}{2\cdot e}\ \ \ (3). \]

Где: е – модуль заряда электрона, е = 1,6∙10^-19 Кл, m_е – масса электрона, m_е = 9,1∙10^-31 кг.
В данной задаче рассматривается столкновение двух тел. Удар, при котором тела движутся после столкновения вместе, с одинаковой скоростью, называется абсолютно неупругим ударом. При столкновении двух тел выполняется закон сохранения и превращения энергии и он выполняется в системе с законом сохранения импульса. 
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара:

\[ {{m}_{e}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{e}}=({{m}_{e}}+{{m}_{r}})\cdot \vec{\upsilon }\ \ \ (4). \]

Находим проекции на ось Ох:

\[  {{m}_{e}}\cdot {{\upsilon }_{e}}=({{m}_{e}}+{{m}_{r}})\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{{{m}_{e}}\cdot {{\upsilon }_{e}}}{({{m}_{e}}+{{m}_{r}})}\ \ \ (5)\ ,\ {{m}_{r}}=\frac{M}{{{N}_{A}}}\ \ \ (6). \]

m_r – масса атома ртути, N_А = 6,02∙10²³ моль^-1 – число Авогадро.
Запишем закон сохранения и превращения энергии:

\[ \frac{{{m}_{e}}\cdot \upsilon _{e}^{2}}{2}=\frac{({{m}_{e}}+\frac{M}{{{N}_{A}}})\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}+Q\ \ \ (7).\ Q=\frac{h\cdot c}{\lambda }\ \ \ (8). \]

Где h = 6,63∙10^-34 Дж∙с – постоянная Планка, с – скорость света, с = 3∙10⁸ м/с.
(5) и (8 ) подставим в (7) выразим скорость электрона до абсолютно не упруго столкновения с неподвижным атомом ртути.

\[ \begin{align}
  & \frac{{{m}_{e}}\cdot \upsilon _{e}^{2}}{2}-\frac{({{m}_{e}}+\frac{M}{{{N}_{A}}})\cdot m_{e}^{2}\cdot \upsilon _{e}^{2}}{2\cdot {{({{m}_{e}}+\frac{M}{{{N}_{A}}})}^{2}}}=\frac{h\cdot c}{\lambda },\ \upsilon _{e}^{2}\cdot (\frac{{{m}_{e}}}{2}\cdot -\frac{m_{e}^{2}}{2\cdot ({{m}_{e}}+\frac{M}{{{N}_{A}}})})=\frac{h\cdot c}{\lambda },\ \upsilon _{e}^{2}\cdot \frac{\frac{{{m}_{e}}\cdot M}{{{N}_{A}}}}{2\cdot ({{m}_{e}}+\frac{M}{{{N}_{A}}})}=\frac{h\cdot c}{\lambda }, \\
 & \ \upsilon _{e}^{2}=\frac{h\cdot c\cdot 2\cdot ({{m}_{e}}+\frac{M}{{{N}_{A}}})\cdot {{N}_{A}}}{\lambda \cdot {{m}_{e}}\cdot M}\ \ \ (9). \\
\end{align} \]

(9) подставим в (3) определим минимальную ускоряющую разность потенциалов, которую прошёл электрон перед столкновением.

\[ \begin{align}
  & \ U=\frac{{{m}_{e}}\cdot h\cdot c\cdot 2\cdot ({{m}_{e}}+\frac{M}{{{N}_{A}}})\cdot {{N}_{A}}}{2\cdot e\cdot \lambda \cdot {{m}_{e}}\cdot M}=\frac{h\cdot c\cdot ({{m}_{e}}+\frac{M}{{{N}_{A}}})\cdot {{N}_{A}}}{e\cdot \lambda \cdot M}\ \ \ \ (10). \\
 & U=\frac{6,63\cdot {{10}^{-34}}\cdot 3\cdot {{10}^{8}}\cdot (9,1\cdot {{10}^{-31}}+\frac{201\cdot {{10}^{-3}}}{6,02\cdot {{10}^{23}}})\cdot 6,02\cdot {{10}^{23}}}{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot 185\cdot {{10}^{-9}}\cdot 201\cdot {{10}^{-3}}}=6,71. \\
\end{align} \]

Ответ: 6,71 В.