Решение: волновая функция для частицы в потенциальной яме
\[ \psi _{n} \left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{l}} \cdot \sin \frac{\pi nx}{l}. \]
Здесь l – ширина ящика, n – номер состояния. Основное состояние соответствует n = 1, тогда первое возбуждённое состояние будет соответствовать n = 2.
Вероятность обнаружить частицу на участке одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле:
\[ \omega =\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left|\psi _{n} \left(x\right)\right|^{2} dx. \]
По условию задачи x1 = 0, x2 = l/3 – частица в первой трети ящика. Тогда
\[ \begin{array}{l} {\omega =\frac{2}{l} \cdot \int _{0}^{l/3}\sin ^{2} \frac{\pi nx}{l} \cdot dx=\frac{2}{l} \cdot \int _{0}^{l/3}\frac{1}{2} \cdot \left(1-\cos \frac{2\pi nx}{l} \right) \cdot dx=} \\ {=\frac{1}{l} \cdot \left. \left(x-\frac{l}{2\pi n} \sin \frac{2\pi nx}{l} \right)\right|_{0}^{l/3} =\left. \left(\frac{x}{l} \right)\right|_{0}^{l/3} \left. -\left(\frac{1}{2\pi n} \sin \frac{2\pi nx}{l} \right)\right|_{0}^{l/3} =} \\ {=\frac{1}{3} -\frac{1}{2\pi n} \sin \frac{2\pi n}{3} .} \end{array} \]
При n = 2
\[ \omega =\frac{1}{3} -\frac{1}{2\pi \cdot 2} \sin \frac{2\cdot \pi \cdot 2}{3} =\frac{1}{3} -\frac{1}{4\pi } \cdot \left(-\frac{\sqrt{3} }{2} \right)=\frac{1}{3} +\frac{\sqrt{3} }{8\pi } =0,40. \]
Ответ: 0,4.
