Решение.
3/4 начального количества ядер радиоактивного изотопа распалось, осталась 1/4.
\[ \frac{N}{{{N}_{0}}}=\frac{1}{4}\ \ \ (1). \]
Запишем закон радиоактивного распада:
\[ N={{N}_{0}}\cdot {{e}^{-\lambda \cdot t}}\ \ \ (2),\ T=\frac{\ln 2}{\lambda }\ \ \ (3). \]
λ – постоянная радиоактивного распада.
Выразим из (2) λ, λ подставим в (3), из (3) выразим период полураспада:
\[ -\lambda \cdot t=\ln \frac{N}{{{N}_{0}}},\ \lambda =-\frac{\ln \frac{N}{{{N}_{0}}}}{t},T=\frac{t\cdot \ln 2}{-\ln \frac{N}{{{N}_{0}}}}.\ T=\frac{8\cdot \ln 2}{-\ln \frac{1}{4}}=4. \]
Т1/2 = 4 суток.
2) (второй способ) Запишем закон радиоактивного распада:
\[ N={{N}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{t}{T}}}\ \ \ (2),\ \frac{N}{{{N}_{0}}}={{2}^{-\frac{t}{T}}},\ \frac{1}{4}={{2}^{-\frac{t}{T}}},\ {{2}^{-2}}={{2}^{-\frac{t}{T}}},\ 2=\ \frac{t}{T},\ T=\frac{t}{2}.\ T=\frac{8}{2}=4. \]
Ответ:
Т1/2 = 4 суток.
