Решение: рассмотрим случай, когда пружины не деформированы: сместим грузик на малую величину x, например, вправо. Тогда первая пружина растянется на x и на груз будет действовать сила упругости F1 направленная влево, а вторая сожмётся на x и на груз будет действовать сила упругости F2 направленная тоже влево. На груз будет действовать 2 силы упругости, которые и сообщат ему ускорение. Воспользуемся законом Гука и определим общую силу, действующую на груз (в проекции на выбранную координатную ось – пусть ось x направлена вправо):
\[ {{F}_{x}}={{F}_{1x}}+{{F}_{2x}}=-{{k}_{1}}\cdot x-{{k}_{2}}\cdot x=-\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right)\cdot x. \]
Запишем второй закон Ньютона, и определим ускорение груза:
\[ {{F}_{x}}=m\cdot {{a}_{x}},\text{ }m\cdot {{a}_{x}}\text{=}-\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right)\cdot x. \]
Ускорение тела при гармонических колебаниях подчиняется уравнению колебаний:
\[ {{a}_{x}}=-{{\omega }^{2}}\cdot x, \]
Таким образом, циклическая частота колебаний груза
\[ m\cdot \left( -{{\omega }^{2}}\cdot x \right)=-\left( {{k}_{1}}+{{k}_{2}} \right)\cdot x,\text{ }\omega =\sqrt{\frac{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}{m}}. \]
Таким образом кинематический закон гармонических колебаний (зависимость смещения груза x от времени t) будет следующим (воспользуемся законом косинуса, чтобы исключить начальную фазу – в начальный момент тело в положении равновесия и смещение равно нулю)
\[ x={{X}_{\max }}\cdot \cos \left( \omega \cdot t \right)={{X}_{\max }}\cdot \cos \left( \sqrt{\frac{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}{m}}\cdot t \right). \]
Если в начальный момент (в положении равновесия) пружины растянуты (либо сжаты) на некоторую величину l (исходя из рисунка – грузик по центру, тогда деформация пружин одинакова) то при смещении грузика на малую величину x, первая пружина растянется на x, а вторая сожмётся на x. При этом направление сил упругости может быть и в одну сторону и в разные стороны, что приведёт к отличию суммарной силы от первого случая.
Таким образом: ответ зависит от того, деформированы пружины в положении равновесия системы или нет,
но при условии одинаковой жёсткости пружин т.е. при k1=k2 – не зависит.
