Решение: пусть пройдёт достаточно большой промежуток времени, и проволока получит количество теплоты необходимое для её нагрева практически до температуры плавления. Чтобы проволока не расплавилась, необходимо условие: количество теплоты, выделяемое при пропускании тока в проводнике за t = 1 с (закон Джоуля -Ленца) должно быть равно количеству теплоты, отдаваемому за 1 с в окружающую среду. Пусть длина проволоки – l, диаметр – d, удельное сопротивление – ρ, коэффициент пропорциональности при отдаче тепла – k. Тогда площадь поверхности (боковая поверхность цилиндра) и площадь сечения проволоки (площадь круга):
\[ {{S}_{p}}=\pi \cdot d\cdot l,\text{ }{{S}_{c}}=\frac{\pi \cdot {{d}^{2}}}{4}.\text{ }(1) \]
Сопротивление проволоки
\[ R=\rho \cdot \frac{l}{{{S}_{c}}}.\text{ }(2) \]
Закон Джоуля –Ленца и теряемое тепло
\[ {{Q}_{1}}={{I}^{2}}\cdot R\cdot t,\text{ }{{Q}_{2}}=k\cdot {{S}_{p}}\cdot t.\text{ }(3) \]
Таким образом, имеем (с учётом (1), (2), и (3))
\[ {{Q}_{1}}={{Q}_{2}},\text{ }{{I}^{2}}\cdot R\cdot t=k\cdot {{S}_{p}}\cdot t,\text{ }{{I}^{2}}\cdot \rho \cdot \frac{l}{{{S}_{c}}}=k\cdot {{S}_{p}},\text{ }{{I}^{2}}=\frac{k\cdot {{S}_{p}}\cdot {{S}_{c}}}{\rho \cdot l}, \]
\[ {{I}^{2}}=\frac{k\cdot \pi \cdot d\cdot l\cdot \frac{\pi \cdot {{d}^{2}}}{4}}{\rho \cdot l}=\frac{k\cdot {{\pi }^{2}}}{4\cdot \rho }\cdot {{d}^{3}}. \]
\[ I=\sqrt{\frac{k\cdot {{\pi }^{2}}}{4\cdot \rho }}\cdot \sqrt{{{d}^{3}}}.\text{ }(4) \]
Записав (4) для двух случаев (d2=4d, d1=d) и разделив уравнения, получим
\[ \frac{{{I}_{2}}}{{{I}_{1}}}=\frac{\sqrt{d_{2}^{3}}}{\sqrt{d_{1}^{3}}}=\sqrt{{{\left( \frac{4d}{d} \right)}^{3}}}\text{=}\sqrt{{{4}^{3}}}\text{=8}\text{, }{{I}_{2}}=8\cdot {{I}_{1}}=8\cdot 5=40A. \]
Ответ: 40 А.
