Колебания точки заданы уравнениями
\[ \left\{ \begin{align}
& x(t)=cos2\pi t \\
& y(t)=cos\pi t \\
\end{align} \right. . \]
Чтобы найти уравнение траектории точки исключим из этих уравнений время t.
Учитывая, что \[ \cos 2\pi t=2{{\cos }^{2}}\pi t-1, \] уравнение x(t) перепишем в виде:
\[ x=2{{\cos }^{2}}\pi t-1. (1) \]
Из уравнения y(t) получаем:
\[ cos\pi t=y, (2) \]
\[ co{{s}^{2}}\pi t={{y}^{2}}. \]
Подставляя последнее выражение в уравнение (1), получаем:
\[ x=2{{y}^{2}}-1. \]
Это уравнение траектории точки – уравнение параболы. Построим эту параболу, учитывая ограничения: \[ \begin{align}
& -1\le x\le 1 \\
& -1\le y\le 1 \\
\end{align}. \]
Найдем значение периода колебаний Т в уравнениях (1) и (2). Т.к. \[ \omega =\pi, \]
\[ Т=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\pi }=2с. \]
В начальный момент времени (t = 0) координаты точки: \[ x=2{{\cos }^{2}}\pi \cdot 0=1,y=cos\pi \cdot 0=1, \] т.е x = 1, y = 1 (точка А).
Спустя четверть периода \[ t=\frac{T}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \] координаты такие:
\[ x=2{{\cos }^{2}}\pi \cdot \frac{1}{2}=-1,y=cos\pi \cdot \frac{1}{2}=0, \] т.е x = -1, y = 0 (точка В).
Спустя полпериода \[ t=\frac{T}{2}=\frac{2}{2}=1 \] координаты такие:
\[ x=2{{\cos }^{2}}\pi \cdot 1=1,y=cos\pi \cdot 1=1, \] т.е x = 1, y = -1 (точка С).
Спустя три-четверти периода \[ t=\frac{3T}{4}=\frac{3\cdot 2}{4}=\frac{3}{2} \] координаты такие:
\[ x=2{{\cos }^{2}}\pi \cdot \frac{3}{2}=-1,y=cos\pi \cdot \frac{1}{2}=0, \] т.е x = -1, y = 0 (точка В - совпадает).
Спустя период (t=T=2) координаты такие:
\[ x=2{{\cos }^{2}}\pi \cdot 2=1,y=cos\pi \cdot 2=1, \] т.е x = 1, y = 1 (точка А - совпадает).
Таким образом точка совершает колебательные движения по дуге параболы АС, начиная свое движение с точки А(1;1).
Ответ: \[ x=2{{y}^{2}}-1. \]
