Решение: энергия, излучаемая поверхностью тела, площадью
S за время
dt равна
\[ dW=R\cdot S\cdot dt. \]
По закону Стефана-Больцмана энергетическая светимость
R серого тела
\[ R=\alpha \cdot \sigma \cdot {{T}^{4}}, \]
здесь
T – абсолютная температура, σ = 5,67•10
–8 Вт/(м²•К4) – постоянная Стефана-Больцмана, α – коэффициент поглощения (степень черноты) серого тела,
S – площадь поверхности цилиндра (волоска), длиной
l:
\[ S=\pi \cdot d\cdot l. \]
Таким образом, энергия, излучаемая вольфрамовой нитью
\[ dW=\alpha \cdot \sigma \cdot {{T}^{4}}\cdot \pi \cdot d\cdot l\cdot dt, \]
количество теплоты
dQ теряемое нитью при охлаждении на
dT за время
dt равно энергии излучения
dQ=-dW.
Знак минус говорит о том, что
dT – отрицательное число (охлаждение). Элементарное количество теплоты
\[ dQ=c\cdot m\cdot dT, \]
Где
c = 150 Дж/(кг•К) - удельная теплоёмкость вольфрама,
m – масса волоска
\[ m=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{\pi \cdot {{d}^{2}}}{4}\cdot l, \]
ρ = 19300 кг/м
3 – плотность вольфрама.
Таким образом, получаем следующее
\[ c\cdot \rho \cdot \frac{\pi \cdot {{d}^{2}}}{4}\cdot l\cdot dT=-\alpha \cdot \sigma \cdot {{T}^{4}}\cdot \pi \cdot d\cdot l\cdot dt, \]
\[ dt=-\frac{c\cdot \rho \cdot d}{4\cdot \alpha \cdot \sigma }\cdot \frac{dT}{{{T}^{4}}}, \]
Проинтегрируем выражение, чтобы найти искомое время
\[ \int\limits_{0}^{\tau }{dt}=-\int\limits_{{{T}_{0}}}^{T}{\frac{c\cdot \rho \cdot d}{4\cdot \alpha \cdot \sigma }\cdot \frac{dT}{{{T}^{4}}}}. \]
\[ \tau =-\frac{c\cdot \rho \cdot d}{4\cdot \alpha \cdot \sigma }\cdot \left( \left. \frac{{{T}^{-3}}}{-3} \right|_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}} \right), \]
\[ \tau =\frac{c\cdot \rho \cdot d}{12\cdot \alpha \cdot \sigma }\cdot \left( \frac{1}{T_{2}^{3}}-\frac{1}{T_{1}^{3}} \right). \]
\[ \tau =\frac{150\cdot 19300\cdot 5\cdot {{10}^{-5}}}{12\cdot 0,3\cdot 5,67\cdot {{10}^{8}}}\cdot \left( \frac{1}{{{600}^{3}}}-\frac{1}{{{2700}^{3}}} \right)=3,25. \]
Ответ: 3,25 с.
