Два одинаковых незаряженных воздушных конденсатора

[Антон Огурцевич]

Два одинаковых незаряженных воздушных конденсатора, каждый из которых имеет ёмкость С = 40 мкФ, соединяют последовательно и подключают к источнику с ЭДС E = 10 В. После окончания зарядки, не отключая цепочку конденсаторов от источника, всё пространство между обкладками одного из конденсаторов медленно заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = 3. Найти работу источника за время заполнения конденсатора диэлектриком. Сделать рисунок.

[Эдуард]

Решение
Работа источника по перезарядке конденсаторов равна \[ A={{W}_{2}}-{{W}_{1}},(1)  \]
где W₁и W₂ – энергия группы конденсаторов до и после заполнения диэлектриком.
Энергия конденсаторов равна
\[ \begin{align}
  & W=\frac{C\cdot {{U}^{2}}}{2}=\frac{C\cdot {{E}^{2}}}{2}. \\
 & {{W}_{1}}=\frac{{{C}_{1}}\cdot {{E}^{2}}}{2}.{{W}_{2}}=\frac{{{C}_{2}}\cdot {{E}^{2}}}{2}.(2) \\
\end{align} \]
где С₁ и С₂ – электроемкость группы конденсаторов до и после заполнения диэлектриком.

При последовательном соединении конденсаторов величина, обратная величине полной емкости, равна сумме величин, обратных емкостей отдельных конденсаторов:
\[ \begin{align}
  & \frac{1}{{{C}_{}}}=\frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{2}}}.(3) \\
 & \frac{1}{{{C}_{1}}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C}=\frac{2}{},{{C}_{1}}=\frac{C}{2}.(4) \\
 & C_{{}}^{\varepsilon }=\varepsilon C.(5) \\
 & \frac{1}{{{C}_{2}}}=\frac{1}{C_{{}}^{\varepsilon }}+\frac{1}{C}=\frac{1}{\varepsilon C}+\frac{1}{C}=\frac{1+\varepsilon }{\varepsilon C},{{C}_{2}}=\frac{\varepsilon C}{1+\varepsilon }.(6) \\
\end{align} \]
Подставляем (2), (4), (6) в (1)
\[ \begin{align}
  & A={{W}_{2}}-{{W}_{1}}=\frac{{{C}_{2}}\cdot {{E}^{2}}}{2}-\frac{{{C}_{1}}\cdot {{E}^{2}}}{2}=\frac{{{E}^{2}}}{2}\left( {{C}_{2}}-{{C}_{1}} \right)= \\
 & =\frac{{{E}^{2}}}{2}\left( \frac{\varepsilon C}{1+\varepsilon }-\frac{C}{2} \right)=\frac{C\cdot {{E}^{2}}}{2}\left( \frac{\varepsilon }{1+\varepsilon }-\frac{1}{2} \right)=\frac{C\cdot {{E}^{2}}}{2}\left( \frac{2\varepsilon -1-\varepsilon }{2(1+\varepsilon )} \right)=\frac{C\cdot {{E}^{2}}}{4}\left( \frac{\varepsilon -1}{1+\varepsilon } \right). \\
 & A=\frac{40\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{10}^{2}}}{4}\left( \frac{3-1}{1+3} \right)=5\cdot {{10}^{-4}Дж}=0,5 мДж. \\
\end{align} \]
Ответ: 0,5 мДж.