Сплошной свинцовый шар

[Антон Огурцевич]

Сплошной свинцовый шар радиуса R = 123 см используется в экспериментах по измерению силы гравитации. К этому шару быстро поднесли подвешенный на длинной нити маленький пробный шарик так, что между шарами остался зазор x = 2,12 мм. Определите, через какое время tau маленький шарик соприкоснётся с большим, двигаясь из состояния покоя только под действием силы гравитационного притяжения. Плотность свинца ρ = 11300 кг/м³, размерами маленького шарика пренебречь.
Ответ дайте в секундах и округлите до одного знака после точки. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Для решения задачи используем закон Всемирного тяготения.

\[ \begin{align}
  & F=G\cdot \frac{M\cdot m}{{{R}^{2}}}\ \ \ (1),\ M=\rho \cdot V\ \ \ (2),\ V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}\ \ \ (3),\ x={{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2},\ {{\upsilon }_{0}}=0,\ x=\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}, \\
 & a=\frac{2\cdot x}{{{t}^{2}}}\ \ \ (4),\ t=\sqrt{\frac{2\cdot x}{a}}\ \ \ (5),\ a=\frac{F}{m}=\frac{G\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}}{{{R}^{2}}},\ a=G\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R\ \ \ (6), \\
 & t=\sqrt{\frac{2\cdot x}{G\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot R}}\ \ \ (7).\ t=\sqrt{\frac{2\cdot 2,12\cdot {{10}^{-3}}}{6,67\cdot {{10}^{-11}}\cdot 11,3\cdot {{10}^{3}}\cdot \frac{4}{3}\cdot 3,14\cdot 1,23}}=33,05. \\
\end{align} \]

М – масса свинцового шара, m – масса пробного шарика, V – объем свинцового шара, R – радиус свинцового шара,
Расстояние от пробного шарика много меньше радиуса свинцового шара, в формуле закона Всемирного тяготения х учитывать не будем.
G = 6,67∙10^-11 Н∙м²/кг², G – гравитационная постоянная.
t = 33,1 с.