Решение: при вращении кольца угловая скорость меняется по закону:
\[ \omega ={{\omega }_{0}}-\varepsilon \cdot t. \]
здесь угловая скорость в начальный момент ω0 – нам известна по условию, ε – угловое ускорение, знак «-» - кольцо замедляет вращение. Пусть кольцо остановится (ω = 0) через промежуток времени t0, который равен:
\[ {{t}_{0}}=\frac{{{\omega }_{0}}}{\varepsilon }.\text{ }(1) \]
Угловое ускорение определим из динамического уравнения вращательного движения:
\[ M=J\cdot \varepsilon ,\text{ (2)} \]
Здесь J – момент инерции тонкого кольца массой m и радиуса R:
\[ J=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}.\text{ }(3) \]
M – тормозящий момент, который создаёт сила трения, действующая на кольцо. Т.к. размерами кольца мы пренебречь не можем, то определим тормозящий момент следующим образом: разобьём кольцо на малые участки длиной dl, которую легко определить через радиус R и центральный угол dα как длину дуги окружности (см. рис.)
\[ dl=R\cdot d\alpha .\text{ }(4) \]
На этот участок действует сила трении dF, направленная против вращения перпендикулярно радиусу, сила тяжести dm•g, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры dN, направленная вертикально вверх. Причём по вертикали сумма сил равна нулю (отсутствует движение в этом направлении), что означает равенство dN = dm•g, и сила трения
\[ dF=\mu \cdot dN=\mu \cdot dm\cdot g.\text{ }(5) \]
Массу участка определим так: разделим массу кольца на длину окружности (найдём массу единицы длины) и умножим на длину участка, т.е.
\[ dm=\frac{m}{2\pi \cdot R}\cdot dl.\text{ }(6) \]
Момент силы равен произведению силы на плечо (в нашем случае - ради-ус), и с учётом (4), (5) и (6), получим
\[ dM=dF\cdot R=\mu \cdot dm\cdot g\cdot R=\mu \cdot \frac{m}{2\pi \cdot R}\cdot dl\cdot g\cdot R=\frac{\mu \cdot m\cdot g\cdot R}{2\pi }\cdot d\alpha .\text{ }(7) \]
Полны момент определим проинтегрировав выражение (7) (угол меняется от 0 до 2π), т.е.
\[ M=\int{dM}=\int\limits_{0}^{2\pi }{\frac{\mu \cdot m\cdot g\cdot R}{2\pi }\cdot d\alpha }\text{=}\frac{\mu \cdot m\cdot g\cdot R}{2\pi }\cdot \int\limits_{0}^{2\pi }{d\alpha }=\frac{\mu \cdot m\cdot g\cdot R}{2\pi }\cdot 2\pi =\mu \cdot m\cdot g\cdot R.\text{ }(8) \]
Таким образом угловое ускорение равно (из (2), учитывая (3) и ( 8 ))
\[ \varepsilon =\frac{M}{J}=\frac{\mu \cdot m\cdot g\cdot R}{\left( \frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2} \right)}=\frac{2\cdot \mu \cdot g}{R}.\text{ }(9) \]
При замедляющимся вращении угол поворота тела определяется выражением:
\[ \varphi ={{\omega }_{0}}\cdot t-\frac{\varepsilon \cdot {{t}^{2}}}{2}. \]
С другой стороны, за один оборот тело поворачивается на угол 2π, то за N оборотов на угол φ = 2π •N. Тогда с учётом (1) и (9), получаем
\[ 2\cdot \pi \cdot N={{\omega }_{0}}\cdot \frac{{{\omega }_{0}}}{\varepsilon }-\frac{\varepsilon \cdot {{\left( \frac{{{\omega }_{0}}}{\varepsilon } \right)}^{2}}}{2}=\frac{\omega _{0}^{2}}{\varepsilon }-\frac{\omega _{0}^{2}}{2\varepsilon }=\frac{\omega _{0}^{2}}{2\varepsilon }=\frac{\omega _{0}^{2}}{2\left( \frac{2\cdot \mu \cdot g}{R} \right)}=\frac{\omega _{0}^{2}\cdot R}{4\cdot \mu \cdot g}. \]
\[ N=\frac{\omega _{0}^{2}\cdot R}{8\cdot \pi \cdot \mu \cdot g}. \]
Это ответ.
