Два заряженных шарика

[Антон Огурцевич]

1. 2.   Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин плотностью 0,8 г/см³. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина ε = 2. Ответ: 1,6 г/см³. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1). Рассмотрим случай когда шарики находятся в вакууме (рис 1).
Покажем силы, которые действуют на один из шариков. Шарик находится в покое, значит, равнодействующая всех сил равна нулю.

\[ {{\vec{F}}_{n}}+{{\vec{F}}_{K}}+m\cdot \vec{g}=0. \]

Найдем проекции на оси Ох и Оу:

\[ Ox:{{F}_{n}}\cdot \sin \alpha -{{F}_{K}}=0\ \ \ (1),Oy:{{F}_{n}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0\ \ \ (2),{{F}_{K}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}}\ \ \ (3).
 \]

(3) подставим в (1) из (1) выразим F_n, F_n подставим в (2) и выразим тангенс угла расхождения нитей в воздухе:

\[ \begin{align}
  & {{F}_{n}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }\ \ (4),\frac{k\cdot {{q}^{2}}\cdot \cos \alpha }{{{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }=m\cdot g,tg\alpha =\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot m\cdot g}(5). \\
 & m=\rho \cdot V,tg\alpha =\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot \rho \cdot V\cdot g}(6). \\
\end{align} \]

2). Рассмотрим случай когда шарики находятся в керосине (рис 2).
Покажем силы, которые действуют на один из шариков. Шарик находится в покое, значит, равнодействующая всех сил равна нулю.

\[ {{\vec{F}}_{n}}+{{\vec{F}}_{K}}+m\cdot \vec{g}+{{\vec{F}}_{A}}=0. \]

Найдем проекции на оси Ох и Оу:

\[ \begin{align}
  & Ox:{{F}_{n}}\cdot \sin \alpha -{{F}_{K}}=0\ \ \ (7),Oy:{{F}_{A}}+{{F}_{n}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0\ \ \ (8),{{F}_{K}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}}\ \ \ (9). \\
 & {{F}_{A}}={{\rho }_{K}}\cdot g\cdot V(10). \\
\end{align} \]

(9) подставим в (7) из (7) выразим F_n, F_n подставим в (8 ) и выразим тангенс угла расхождения нитей в керосине:

\[ \begin{align}
  & {{F}_{n}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }\ \ (11),{{\rho }_{K}}\cdot g\cdot V+\frac{k\cdot {{q}^{2}}\cdot \cos \alpha }{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }=m\cdot g,m=\rho \cdot V, \\
 & \frac{k\cdot {{q}^{2}}\cdot \cos \alpha }{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot \sin \alpha }=\rho \cdot V\cdot g-{{\rho }_{K}}\cdot g\cdot V,tg\alpha =\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot (\rho \cdot V\cdot g-{{\rho }_{K}}\cdot g\cdot V)}(12). \\
\end{align}
 \]

Прировняем (6) и (12) выразим плотность материала шариков.

\[ \begin{align}
  & \frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot \rho \cdot V\cdot g}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}\cdot (\rho \cdot V\cdot g-{{\rho }_{K}}\cdot g\cdot V)},\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\varepsilon \cdot (\rho -{{\rho }_{K}})},\varepsilon \cdot \rho -\varepsilon \cdot {{\rho }_{K}}=\rho , \\
 & \rho =\frac{\varepsilon \cdot {{\rho }_{K}}}{\varepsilon -1}(14).\rho =\frac{2\cdot 800}{2-1}=1600. \\
\end{align} \]

Ответ: 1,6 г/см³.