Электростатическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной нитью

[Антон Огурцевич]

1. 32. Электростатическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь от нити под действием поля вдоль линии напряжённости с расстояния R₁ = 1 см до R₂ = 5 см, изменил свою скорость от 1 до 10 Мм/с.  Определить линейную плотность заряда нити. Ответ: 17,8 мкКл/м. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:

\[ \begin{align}
  & {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(1),{{\Phi }_{E}}=\oint{{{E}_{n}}}\cdot dS=E\cdot S=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l(2), \\
 & Q=\tau \cdot l(3),\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,\frac{\tau \cdot l}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,E=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}(1). \\
\end{align} \]

Где: ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Изменяется кинетическая энергия протона. Изменение кинетической энергия протона равно работе всех сил, действующих на протон.
Запишем уравнение элементарной работы, совершаемой внешними силами при перемещении протона из точки 1 в точку 2.

\[ \begin{align}
  & dA=F\cdot dr(2),F=q\cdot E(3),dA=q\cdot E\cdot dr,dA=q\cdot \frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}\cdot dr(4). \\
 & A=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{q\cdot \frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}\cdot dr}=q\cdot \frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}(5). \\
\end{align} \]

\[ \begin{align}
  & A=\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}-\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}(6),\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}-\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}=q\cdot \frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}, \\
 & \tau =\frac{(\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}-\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2})\cdot 2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}{q\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}}=\frac{\frac{m}{2}\cdot (\upsilon _{2}^{2}-\upsilon _{1}^{2})\cdot 2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}{q\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}}(7). \\
 & \tau =\frac{\frac{1,67\cdot {{10}^{-27}}}{2}\cdot ({{(10\cdot {{10}^{6}})}^{2}}-{{(1\cdot {{10}^{6}})}^{2}})\cdot 2\cdot 3,14\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot \ln \frac{5,0\cdot {{10}^{-2}}}{1,0\cdot {{10}^{-2}}}}=1794,67,3\cdot {{10}^{-8}}. \\
\end{align} \]

Где: m – масса протона, m = 1,67∙10^-27 кг, q – заряд протона, q = 1,6∙10^-19 Кл.
Ответ: 17,9∙10^-6 Кл/м, 17,9 Кл/м.