Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор

[Антон Огурцевич]

4.6. Электрон влетает в плоский воздушный конденсатор, расположенный горизонтально, параллельно его пластинам со скоростью 10⁷ м/с. Длина конденсатора 5 см, напряжённость электрического поля 100 В/см. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны силовым линиям электрического поля. Индукция магнитного поля 10^-2 Тл. Найти радиус и шаг винтовой траектории электрона в магнитном поле. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: сила F, действующая на электрон со стороны электрического поля
\[ F=q\cdot E \]
Здесь q = 1,6•10^-19 Кл – заряд электрона, эта сила сообщает ускорение, из второго закона Ньютона
\[ a=\frac{F}{m}=\frac{q\cdot E}{m}, \]
Здесь m = 9,1•10^-31 кг – масса электрона, при этом электрон пролетит конденсатор за время (конденсатор горизонтален – учитываем только горизонтальную составляющую скорости – см. рис.)
\[ t=\frac{l}{{{\upsilon }_{0}}}. \]
Тогда вертикальная составляющая скорости электрона при вылете из конденсатора (учтём, что начальной скорости вдоль оси y не было)
\[ {{\upsilon }_{y}}=a\cdot t=\frac{q\cdot E}{m}\cdot \frac{l}{{{\upsilon }_{0}}}. \]
Таким образом скорость электрона при вылете из конденсатора (по теореме Пифагора)
\[ \upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+\upsilon _{y}^{2}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+{{\left( \frac{q\cdot E\cdot l}{m\cdot {{\upsilon }_{0}}} \right)}^{2}}}. \]
При этом электрон отклонится от горизонтального направления на угол α, синус и косинус угла по определению
\[ \sin \alpha =\frac{{{\upsilon }_{y}}}{\upsilon },\text{  }\cos \alpha =\frac{{{\upsilon }_{0}}}{\upsilon }. \]
Именно под этим углом к силовым линиям и попадает электрон в магнитное поле. Разложим скорость на 2 составляющие:  υ₁ – направленную вдоль линий магнитной индукции и υ₂, перпендикулярную этим линиям. Модули этих составляющих:

υ₁ = υ∙cosα,    υ₂ = υ∙sinα

соответственно. На частицу действует сила Лоренца, вследствие чего частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Период обращения частицы по окружности:
\[ T=\frac{2\pi \cdot R}{{{\upsilon }_{2}}}, \]
где R – радиус окружности, который легко определить, составив уравнение на основании второго закона Ньютона:
\[ \begin{align}
  & F=m\cdot {{a}_{c}},\text{      }q\cdot {{\upsilon }_{2}}\cdot B=m\cdot \frac{\upsilon _{2}^{2}}{R}, \\
 & R=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{2}}}{q\cdot B}=\frac{m\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha }{q\cdot B}. \\
\end{align} \]
Таким образом, период вращения
\[ T=\frac{2\pi \cdot m}{q\cdot B}. \]
При этом частица движется равномерно (со скоростью υ₁) вдоль поля, и за один оборот смещается на расстояние (шаг винтовой линии):
\[ h={{\upsilon }_{1}}\cdot T=\upsilon \cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\pi \cdot m}{q\cdot B}. \]
Расчёты удобнее провести поэтапно:
\[ {{\upsilon }_{y}}=\frac{q\cdot E}{m}\cdot \frac{l}{{{\upsilon }_{0}}}=\frac{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot {{10}^{4}}\cdot 0,05}{9,1\cdot {{10}^{-31}}\cdot {{10}^{7}}}=8,8\cdot {{10}^{6}}. \]
\[ \upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+{{\left( \frac{q\cdot E\cdot l}{m\cdot {{\upsilon }_{0}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{10}^{7}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot {{10}^{4}}\cdot 0,05}{9,1\cdot {{10}^{-31}}\cdot {{10}^{7}}} \right)}^{2}}}=1,33\cdot {{10}^{7}}. \]
\[ \sin \alpha =\frac{8,8\cdot {{10}^{6}}}{1,33\cdot {{10}^{7}}}=0,88,\text{  }\cos \alpha =\frac{{{10}^{7}}}{1,33\cdot {{10}^{7}}}=0,75. \]
\[ R=\frac{m\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha }{q\cdot B}=\frac{9,1\cdot {{10}^{-31}}\cdot 1,33\cdot {{10}^{7}}\cdot 0,88}{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot {{10}^{-2}}}=6,6\cdot {{10}^{-3}}. \]
\[ h=1,33\cdot {{10}^{7}}\cdot 0,75\cdot \frac{2\cdot 3,14\cdot 9,1\cdot {{10}^{-31}}}{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot {{10}^{-2}}}=35,6\cdot {{10}^{-3}}. \]
Ответ: 6,6 мм, 35,6 мм.