Решение.
Энергию в элементарном сферическом слое (он выбран за пределами диэлектрика, где следует определить энергию ε = 1) объемом dV определим по формуле:
\[ dW=wdV(1). \]
dV – элемент объема, элемент объема выразим через радиус элементарного сферического слоя.
dV = 4∙π∙r2∙dr (2).
По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:
\[ \oint{E\cdot dS}=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}.dS=4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}(3),E=\frac{Q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}(4). \]
Объёмную плотность энергии шара определим по формуле:
\[ \rho =\frac{Q}{V}(5),V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(6),Q=\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}(7). \]
\[ \begin{align}
& dW=wdV,dW=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}}{2}dV,dW=\frac{{{Q}^{2}}}{32\cdot {{\pi }^{2}}\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{4}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}dr=\frac{{{Q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}\cdot dr. \\
& dW=\frac{{{(\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}})}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}\cdot dr. \\
& W=\int\limits_{{{R}_{{}}}}^{\infty }{\frac{{{(\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}})}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=\frac{{{(\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}})}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1} \right|_{R}^{\infty }=\frac{{{(\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}})}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{R}. \\
\end{align} \]
\[ W=\frac{{{(10\cdot {{10}^{-9}}\cdot \frac{4}{3}\cdot 3,14\cdot {{(5\cdot {{10}^{-2}})}^{3}})}^{2}}}{8\cdot 3,14\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot \frac{1}{5\cdot {{10}^{-2}}}=2,46\cdot {{10}^{-12}}. \]
Ответ: 2,46 пДж.
