Решение.
Покажем рисунок. Зная напряжение вольтметра и его сопротивление используя закон Ома для участка цепи можно найти ток который идет через вольтметр.
\[ {{I}_{1}}=\frac{{{U}_{1}}}{R}(1). \]
Вольтметр, включённый в сеть последовательно с сопротивлением, сила тока на всех участках цепи одинаковая. Общее напряжение равно суме напряжений на участках цепи.
\[ U={{U}_{R1}}+{{U}_{1}}(2),U={{I}_{1}}\cdot ({{R}_{1}}+R),U=\frac{{{U}_{1}}}{R}\cdot ({{R}_{1}}+R)\,(3). \]
Аналогично рассмотрим второй случай.
\[ \begin{align}
& {{I}_{2}}=\frac{{{U}_{2}}}{R}(4). \\
& U={{U}_{R2}}+{{U}_{1}}(5),U={{I}_{2}}\cdot (2\cdot {{R}_{1}}+R),U=\frac{{{U}_{2}}}{R}\cdot (2\cdot {{R}_{1}}+R)\,(6). \\
\end{align} \]
Напряжение в сети постоянно, приравняем (3) и (6) определим сопротивление резистора и из (3) или (6) определим напряжение в сети.
\[ \begin{align}
& \frac{{{U}_{1}}}{R}\cdot ({{R}_{1}}+R)=\,\frac{{{U}_{2}}}{R}\cdot (2\cdot {{R}_{1}}+R),\frac{{{U}_{1}}}{R}\cdot {{R}_{1}}+\frac{{{U}_{1}}}{R}\cdot R=\frac{{{U}_{2}}}{R}\cdot 2\cdot {{R}_{1}}+\frac{{{U}_{2}}}{R}\cdot R, \\
& \frac{{{U}_{2}}}{R}\cdot 2\cdot {{R}_{1}}-\frac{{{U}_{1}}}{R}\cdot {{R}_{1}}={{U}_{1}}-{{U}_{2}},{{R}_{1}}=\frac{{{U}_{1}}-{{U}_{2}}}{\frac{{{U}_{2}}}{R}\cdot 2-\frac{{{U}_{1}}}{R}}=\frac{R\cdot ({{U}_{1}}-{{U}_{2}})}{2\cdot {{U}_{2}}-U}. \\
& {{R}_{1}}=\frac{900\cdot (198-180)}{2\cdot 180-198}=100. \\
& U=\frac{198}{900}\cdot (100+900)=220. \\
\end{align} \]
Ответ: 100 Ом, 220 В.
