Определить напряжённость электростатического поля на расстоянии

[Антон Огурцевич]

1. 54. Определить напряжённость электростатического поля на расстоянии d = 1 см от оси коаксиального кабеля, если радиус его центральной жилы R₁ = 0,5 см, а радиус оболочки R₂ = 1,5 см. Разность потенциалов между центральной жилой и оболочкой U = 1 кВ. Ответ: 91 кВ/м. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:

\[ \begin{align}
  & {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(1),{{\Phi }_{E}}=\oint{{{E}_{n}}}\cdot dS=E\cdot S=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l(2),Q=\tau \cdot l(3), \\
 & \frac{Q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,\frac{\tau \cdot l}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=E\cdot 2\cdot \pi \cdot r\cdot l,E=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}(4). \\
\end{align} \]

Где: ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, ε₀ = 8,854∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная, τ - линейная плотность заряда на жилах кабеля.
Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях R₁ и R₂ от оси кабеля равна:

\[ \begin{align}
  & {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{Edr=}\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}dr=\frac{\tau }{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}}\cdot \ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}(5). \\
 &  \\
\end{align} \]

Из (5) выразим линейная плотность заряда, подставим в (4) определим напряжённость электростатического поля на расстоянии d = 1 см от оси коаксиального кабеля.

\[ \begin{align}
  & \tau =\frac{({{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}})\cdot 2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}{\ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}}(6),E=\frac{({{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}})\cdot 2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}{\ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}\cdot 2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot d}=\frac{({{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}})}{\ln \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}\cdot d}(7). \\
 & E=\frac{1000}{\ln \frac{1,5\cdot {{10}^{-2}}}{0,5\cdot {{10}^{-2}}}\cdot {{10}^{-2}}}=91000. \\
 &  \\
\end{align} \]

Ответ: 91 кВ/м.