Даны четыре элемента

[Антон Огурцевич]

2. 17. Даны четыре элемента с э.д.с. E = 1,5 В и внутренним сопротивлением R = 0,2 Ом. Как нужно соединить эти элементы, чтобы получить от собранной батареи наибольшую силу тока во внешней цепи, имеющей сопротивление  R = 0,2 Ом? Определить максимальную силу тока. Ответ: 2 параллельно, 2 последовательно; 7,5 А. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
В нашем случае батарея получена соединением m параллельных групп содержащих n одинаковых и последовательно соединенных элементов каждая, закон Ома для силы тока в полной цепи в этом случае имеет вид:

\[ I=\frac{n\cdot E}{R+\frac{n\cdot r}{m}}(1).n+m=4(2). \]

Полезную мощность определим по формуле:

\[ {{P}_{n}}=P-{{P}_{T}}(3),P=I\cdot n\cdot E\,(4),{{P}_{T}}={{I}^{2}}\cdot \frac{n}{m}\cdot r(5),{{P}_{n}}=I\cdot n\cdot E\,-{{I}^{2}}\cdot \frac{n}{m}\cdot r(6). \]

Р_n – полезная мощность, Р_Т – теряемая мощность.
Для определения максимальной силы тока возьмем первую производную от Р_n по I и приравняем к нулю.

\[ \begin{align}
  & {{P}_{n}}(I)={{(I\cdot n\cdot E\,-{{I}^{2}}\cdot \frac{n}{m}\cdot r)}^{'}}=n\cdot E\,-2\cdot I\cdot \frac{n}{m}\cdot r. \\
 & n\cdot E\,-2\cdot I\cdot \frac{n}{m}\cdot r=0,\,2\cdot I\cdot r=m\cdot E,I=\frac{m\cdot E}{2\cdot r}\,(7). \\
\end{align} \]

(7) подставим в (1) и решим систему уравнений (1) и (2).

\[ \begin{align}
  & \frac{m\cdot E}{2\cdot r}=\frac{n\cdot E}{R+\frac{n\cdot r}{m}},\,m\cdot R+n\cdot r=2\cdot r\cdot n,m\cdot R=r\cdot n,m=\frac{r\cdot n}{R},n+m=4,\,n+\frac{r\cdot n}{R}=4, \\
 & n=\frac{4}{1+\frac{r}{R}},n=\frac{4\cdot R}{R+r}.n=\frac{4\cdot 0,2}{0,2+0,2}=2.m=2. \\
 & I=\frac{2\cdot 1,5}{0,2+\frac{2}{2}\cdot 0,2}=7,5. \\
\end{align} \]

Ответ: 2 параллельно, 2 последовательно; 7,5 А.