По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам

[Антон Огурцевич]

4. 8.   По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам, находящимся на расстоянии АВ = 10 см друг от друга в вакууме, текут токи I₁ = 20 А и I₂ = 30 А одинакового направления. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой, соединяющих оба провода, если: 1) точка C лежит на расстоянии R₁ = 4 см левее левого провода; 2) точка D лежит на расстоянии r₂ = 3 см правее правого провода; 3) точка G лежит на расстоянии R₁ = 4 см правее левого провода. Ответ: 1) 0,25 мТл; 2) 0,23 мТл; 3) 0. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Покажем рисунок. Направление вектора магнитной индукции определим по правилу буравчика.
Результирующий вектор магнитной индукции определим по правилу суперпозиции. Магнитная индукция создаваемая проводником с током на расстоянии R от проводника определим по формуле:

\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot \pi \cdot R}(1)..\ {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{1}}}\ \ \ (1),\ {{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot {{r}_{2}}}\ \ \ (2).
 \]

1) Определим магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой, соединяющих оба провода, если точка C лежит на расстоянии R₁ = 4 см левее левого провода.

\[ \begin{align}
  & B={{B}_{1}}\ +{{B}_{2}}(1),{{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{R}_{1}}}\ \ \ (2),\ {{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot (AB+{{R}_{1}})}\ \ \ (3). \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{R}_{1}}}+\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot (AB+{{R}_{1}})}=\frac{{{\mu }_{0}}}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{{{I}_{1}}}{{{R}_{1}}}+\frac{{{I}_{2}}}{(AB+{{R}_{1}})}). \\
 & B=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{20}{0,04}+\frac{30}{0,1+0,04})=1428,57\cdot {{10}^{-7}}. \\
\end{align} \]

2) Определим магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой, соединяющих оба провода, если точка D лежит на расстоянии r₂ = 3 см правее правого провода.

\[ \begin{align}
  & B={{B}_{1}}\ +{{B}_{2}}(1),{{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot (AB+{{R}_{2}})}\ \ \ (2),\ {{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot {{R}_{2}}}\ \ \ (3). \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot (AB+{{R}_{2}})}+\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot {{R}_{2}}}=\frac{{{\mu }_{0}}}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{{{I}_{1}}}{(AB+{{R}_{2}})}+\frac{{{I}_{2}}}{{{R}_{2}}}). \\
 & B=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{20}{0,1+0,03}+\frac{30}{0,03})=2307,69\cdot {{10}^{-7}}. \\
\end{align} \]

3) Определим магнитную индукцию B поля, создаваемого токами в точках, лежащих на прямой, соединяющих оба провода, точка G лежит на расстоянии R₃ = 4 см правее левого провода.

\[ \begin{align}
  & B={{B}_{1}}\ -{{B}_{2}}(1),{{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{R}_{3}}}\ \ \ (2),\ {{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot (AB-{{R}_{3}})}\ \ \ (3). \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}}{2\cdot \pi \cdot {{R}_{3}}}-\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot (AB-{{R}_{3}})}=\frac{{{\mu }_{0}}}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{{{I}_{1}}}{{{R}_{3}}}-\frac{{{I}_{2}}}{(AB-{{R}_{3}})}). \\
 & B=\frac{4\cdot \pi \cdot {{10}^{-7}}}{2\cdot \pi }\cdot (\frac{20}{0,04}-\frac{30}{0,1-0,04})=0. \\
\end{align} \]

Ответ: 1) 0,142 мТл; 2) 0,23 мТл; 3) 0.