Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца

[Антон Огурцевич]

4. 13. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом R = 5 см, по которому течёт ток I = 10 А, в точке А, расположенной на расстоянии d = 10 см от центра кольца. Ответ: 112 мкТл. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Закон Био-Савара-Лапласа:

\[ \ \ dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot \sin \alpha dl}{4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}(1). \]

Где dB -  магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длиной dl с током I; r -  радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция; α - угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе проводника, μ₀ = 4∙π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.
 Магнитная индукция магнитного поля кругового тока на расстоянии d от центра окружности определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & \sin \alpha =\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{d}^{2}}}}(2),{{r}^{2}}={{R}^{2}}+{{d}^{2}}(3), \\
 & B=\int\limits_{0}^{2\cdot \pi \cdot R}{dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot R}{4\cdot \pi \cdot \sqrt{{{R}^{2}}+{{d}^{2}}}\cdot ({{R}^{2}}+{{d}^{2}})}}\int\limits_{0}^{2\cdot \pi \cdot R}{dl=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot R}{4\cdot \pi \cdot {{({{R}^{2}}+{{d}^{2}})}^{\frac{3}{2}}}}}\ \cdot \ \left. l \right|_{0}^{2\cdot \pi \cdot R}\ = \\
 & \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot R}{4\cdot \pi \cdot {{({{R}^{2}}+{{d}^{2}})}^{\frac{3}{2}}}}\cdot 2\cdot \pi \cdot R=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot {{R}^{2}}}{2\cdot {{({{R}^{2}}+{{d}^{2}})}^{\frac{3}{2}}}}. \\
 & B=\frac{4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot 10\cdot {{(5\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{2\cdot ({{(5\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}+{{(10\cdot {{10}^{-2}})}^{\frac{3}{2}}}}=112,3\cdot {{10}^{-7}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 11,23∙10^-6 Тл, 11,23 мкТл.