На рисунке изображён термодинамический цикл

[Антон Огурцевич]

На рисунке изображён термодинамический цикл, осуществляемый с одноатомным идеальным газом, взятым в количестве ν = 18,7 моль. Начальная температура газа Т₁ = 336 К. p₂ = 3,2∙p₁, V₂ = 4,2∙V₁. Определить количество теплоты, переданное за цикл газом холодильнику. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Используя уравнение Клапейрона – Менделеева запишем выражения для определения температуры в каждой точке цикла.

\[ \begin{align}
  & p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T,\ T=\frac{p\cdot V}{\nu \cdot R}.\ {{T}_{1}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R}\ \ \ (1),\ {{T}_{2}}=\frac{3,2\cdot {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R}\ \ \ (2),\  \\
 & {{T}_{3}}=\frac{3,2\cdot {{p}_{1}}\cdot 4,2\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R}\ \ \ (3),\ {{T}_{4}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot 4,2\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R}\ \ \ (4). \\
\end{align} \]

Температура увеличивается на участках 1 → 2 и 2 → 3, на этих участках газ получает некоторое количество теплоты.
Температура уменьшается на участках 3 → 4 и 4 → 1, на этих участках газ отдает холодильнику некоторое количество теплоты. Определим количество теплоты, переданное за цикл газом холодильнику. Учитываем, что газ одноатомный и идеальный.

\[ {{Q}_{2}}={{Q}_{34}}+{{Q}_{41}}\ \ \ (5). \]

3 → 4 – изохорный процесс, V = соnst, ∆V = 0,

\[ \begin{align}
  & {{Q}_{34}}={{A}_{34}}+\Delta {{U}_{34}},\ A=0,\ {{Q}_{34}}=\Delta {{U}_{34}},\ \Delta {{U}_{34}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{4}}-{{T}_{3}}),\  \\
 & \Delta {{U}_{34}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot (\frac{{{p}_{1}}\cdot 4,2\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R}-\frac{3,2\cdot {{p}_{1}}\cdot 4,2\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R}),\Delta {{U}_{34}}=\ \frac{3}{2}\cdot (-9,24\cdot {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}).\  \\
 & {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}} \\
 & {{Q}_{34}}=\ \frac{3}{2}\cdot (-9,24\cdot \nu \cdot R\cdot {{T}_{1}})\ \ \ (6). \\
\end{align} \]

4 → 1 – изобарный процесс.

\[ \begin{align}
  & {{Q}_{41}}=\frac{5}{2}\cdot A,\ A=\nu \cdot R\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{4}}),\ {{Q}_{41}}=\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot (\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R}-\frac{{{p}_{1}}\cdot 4,2\cdot {{V}_{1}}}{\nu \cdot R})=\frac{5}{2}\cdot (-3,2\cdot {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}). \\
 & {{Q}_{41}}=\frac{5}{2}\cdot (-3,2\cdot \nu \cdot R\cdot {{T}_{1}})\ \ \ (7). \\
\end{align}
 \]

(7) и (6) подставим в (5) Определим количество теплоты, переданное за цикл газом холодильнику.

\[ \begin{align}
  & {{Q}_{2}}=\frac{3}{2}\cdot (-9,24\cdot \nu \cdot R\cdot {{T}_{1}})\ +\frac{5}{2}\cdot (-3,2\cdot \nu \cdot R\cdot {{T}_{1}})\ \ \ (8\ ). \\
 & {{Q}_{2}}=\frac{3}{2}\cdot (-9,24\cdot 18,7\cdot 8,31\cdot 336)+\frac{5}{2}\cdot (-3,2\cdot 18,7\cdot 8,31\cdot 336)=-1141384,7=-1,14\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: количество теплоты, переданное за цикл газом холодильнику
1,14∙10⁶ Дж.