К концам невесомой и нерастяжимой нити

[Антон Огурцевич]

21.1074.3. К концам невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через закреплённый блок, подвешены два груза массой 1 кг каждый. На один из грузов положен перегрузок массой 0,5 кг. Найдите величину силы, с которой перегрузок давит на груз. Трением в осях следует пренебречь. Блок считайте однородным диском массой 1 кг. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Определим ускорение с которым движутся грузы.
Покажем силы которые действуют на грузы:

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot \vec{a}={{{\vec{T}}}_{1}}+{{m}_{1}}\cdot \vec{g}\ \ \ (1) \\
 & ({{m}_{1}}+\Delta m)\cdot \vec{a}={{{\vec{T}}}_{2}}+({{m}_{1}}+\Delta m)\cdot \vec{g} \\
\end{align}
 \]

Найдем их проекции на ось Оу:

\[ \begin{align}
  & -{{m}_{1}}\cdot a=-{{T}_{1}}+{{m}_{1}}\cdot g\ \ \ (2), \\
 & ({{m}_{1}}+\Delta m)\cdot a=-{{T}_{2}}+({{m}_{1}}+\Delta m)\cdot g\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Разность сил натяжения (Т₁ – Т₂) создает вращательный момент, при отсутствии трения получим уравнение:

\[ {{M}_{B}}=({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\cdot R,\ {{M}_{B}}=J\cdot \varepsilon ,\ J\cdot \varepsilon =({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\cdot R\ \ \ (4). \]

J – момент инерции диска, ε – угловое ускорение, m – масса диска.

\[ J=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}\ \ \ (5),\ \varepsilon =\frac{a}{R}\ \ \ (6). \]

Подставим (5) и (6) в (4):

\[ m\cdot a=2\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{2}})\ \ (7). \]

Решим систему уравнений (2) (3) (7).
Из (2) выразим Т₁, из (3) выразим Т₂, подставим Т₁ и Т₂ в (7) выразим ускорение:

\[ \begin{align}
  & {{T}_{1}}={{m}_{1}}\cdot a+{{m}_{1}}\cdot g,{{T}_{2}}=({{m}_{1}}+\Delta m)\cdot g-({{m}_{1}}+\Delta m)\cdot a, \\
 & m\cdot a=2\cdot {{m}_{1}}\cdot a+2\cdot {{m}_{1}}\cdot g-2\cdot ({{m}_{1}}+\Delta m)\cdot g+2\cdot ({{m}_{1}}+\Delta m)\cdot a, \\
 & m\cdot a-2\cdot {{m}_{1}}\cdot a-2\cdot ({{m}_{1}}+\Delta m)\cdot a=2\cdot {{m}_{1}}\cdot g-2\cdot ({{m}_{1}}+\Delta m)\cdot g, \\
 & a=\frac{2\cdot {{m}_{1}}\cdot g-2\cdot ({{m}_{1}}+\Delta m)\cdot g}{m-2\cdot {{m}_{1}}-2\cdot ({{m}_{1}}+\Delta m)}(8). \\
 & a=\frac{2\cdot 1\cdot 10-2\cdot (1+0,5)\cdot 10}{1-2\cdot 1-2\cdot (1+0,5)}=2,5. \\
\end{align} \]

Рассмотрим груз на который положен перегрузок, покажем силы которые действуют на перегрузок и определим величину силы, с которой перегрузок давит на груз.
Учитываем, что перегрузок движется с таким же ускорением как и грузы подвешенные к концам невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через закреплённый блок. Для решения задачи используем второй закон Ньютона:

\[ \vec{F}=\Delta m\cdot \vec{a};\ \vec{N}+\Delta m\cdot \vec{g}=\Delta m\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на ось Оу:

\[ -N+\Delta m\cdot g=\Delta m\cdot a,\ N=\ \Delta m\cdot (g-a)\ \ \ (9).N=0,5\cdot (10-2,5)=3,75. \]

Ответ: 3,75 Н.