Решение.
Рассмотрим вращающий момент стержня. Вращающий момент
М, действующий на стержень определяется по формуле:
\[ \begin{align}
& \text{ }M=\text{ }J\cdot \varepsilon ~~\left( 1 \right),M=\text{ }F\cdot L~~\left( 2 \right),\text{ }F\text{ }=\text{ }m\cdot g~~\left( 3 \right),L=\frac{1}{2}\cdot l\cdot \cos \alpha (4), \\
& m\cdot g\cdot \frac{1}{2}\cdot l\cdot \cos \alpha =J\cdot \varepsilon (5). \\
\end{align} \]
L – плечо силы тяжести,
J – момент инерции стержня, ε – угловое ускорение движения стержня.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела
J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела
J0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела
m на квадрат расстояния
L между осями:
\[ \begin{align}
& J={{J}_{0}}+m\cdot {{L}^{2}},\text{ }~\text{ }J=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{(\frac{l\cdot \cos \alpha }{2})}^{2}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{\frac{(l\cdot \cos \alpha )}{4}}^{2}}= \\
& =m\cdot {{l}^{2}}\cdot (\frac{1+3\cdot {{(\cos \alpha )}^{2}}}{12})(6), \\
& m\cdot g\cdot \frac{1}{2}\cdot l\cdot \cos \alpha =(m\cdot {{l}^{2}}\cdot (\frac{1+3\cdot {{(\cos \alpha )}^{2}}}{12}))\cdot \varepsilon ,\varepsilon =\frac{m\cdot g\cdot \frac{1}{2}\cdot l\cdot \cos \alpha }{m\cdot {{l}^{2}}\cdot (\frac{1+3\cdot {{(\cos \alpha )}^{2}}}{12})}=\frac{g\cdot \frac{1}{2}\cdot \cos \alpha }{l\cdot (\frac{1+3\cdot {{(\cos \alpha )}^{2}}}{12})}(7). \\
& \varepsilon =\frac{\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{1\cdot (\frac{1+{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}\cdot 3}{12})}=9,4. \\
& \\
& \\
\end{align} \]
Ответ: 9,4 рад/с
2.
