Наблюдатель, стоящий на станции

[Антон Огурцевич]

7. Наблюдатель, стоящий на станции, слышит гудок проходящего электровоза. Когда электровоз приближается, частота звуковых колебаний гудка равна ню₁, a когда удаляется – ню₂. Принимая, что скорость v звука известна, определите: 1) скорость v_ист электровоза; 2) собственную частоту ню₀ колебаний гудка. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Для решения задачи используем эффект Доплера.
Эффект Доплера — изменение частоты и, соответственно, длины волны излучения, воспринимаемое наблюдателем (приёмником), вследствие движения источника излучения и/или движения наблюдателя (приёмника).
По принципу Доплера частота звука определяется формулой:

\[ \nu ={{\nu }_{0}}\cdot \frac{\upsilon \pm {{\upsilon }_{2}}}{\upsilon \pm {{\upsilon }_{1}}}(1). \]

υ – скорость звука в воздухе, υ₂ – скорость движения наблюдателя, υ₂ = 0 - если наблюдатель покоится, υ₂ > 0 - если наблюдатель движется по направлению к источнику звука, υ₂ < 0 - если наблюдатель движется по направлению от источника звука, υ₁ > 0- если источник звука движется по направлению к наблюдателю, υ₁ < 0 - если источник звука движется по направлению от наблюдателя. 
А) Запишем формулу для определения частоты звука гудка если электровоз отдаляется от наблюдателя.
υ₂ = 0 - наблюдатель покоится, υ₁ < 0 - если источник звука движется по направлению от наблюдателя.

\[ {{\nu }_{2}}={{\nu }_{0}}\cdot \frac{\upsilon }{\upsilon -{{\upsilon }_{1}}}(2). \]

Б) Запишем формулу для определения частоты звука гудка если электровоз приближается к наблюдателю.
υ₂ = 0 - наблюдатель покоится, υ₁ > 0 - если источник звука движется по направлению к наблюдателю.

\[ {{\nu }_{1}}={{\nu }_{0}}\cdot \frac{\upsilon }{\upsilon +{{\upsilon }_{1}}}(3). \]

Решим систему уравнений (2) и (3) определим скорость υ электровоза и собственную частоту ν₀ колебаний гудка.

\[ \begin{align}
  & \frac{{{\nu }_{2}}}{{{\nu }_{1}}}={{\nu }_{0}}\cdot \frac{\upsilon }{\upsilon -{{\upsilon }_{1}}}\cdot \frac{\upsilon +{{\upsilon }_{1}}}{{{\nu }_{0}}\cdot \upsilon },\frac{{{\nu }_{2}}}{{{\nu }_{1}}}=\frac{\upsilon +{{\upsilon }_{1}}}{\upsilon -{{\upsilon }_{1}}},{{\nu }_{2}}\cdot (\upsilon -{{\upsilon }_{1}})={{\nu }_{1}}\cdot (\upsilon +{{\upsilon }_{1}}), \\
 & {{\nu }_{2}}\cdot \upsilon -{{\nu }_{2}}\cdot {{\upsilon }_{1}}={{\nu }_{1}}\cdot \upsilon +{{\nu }_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}},\upsilon =\frac{{{\nu }_{2}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+{{\nu }_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{{{\nu }_{2}}-{{\nu }_{1}}}, \\
 & \upsilon =\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot ({{\nu }_{2}}+{{\nu }_{1}})}{{{\nu }_{2}}-{{\nu }_{1}}}(4). \\
 &  \\
\end{align}

 \]

\[ \begin{align}
  & {{\nu }_{0}}=\frac{{{\nu }_{1}}\cdot (\upsilon +{{\upsilon }_{1}})}{\upsilon },{{\nu }_{0}}=\frac{{{\nu }_{1}}\cdot (\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot ({{\nu }_{2}}+{{\nu }_{1}})}{{{\nu }_{2}}-{{\nu }_{1}}}+{{\upsilon }_{1}})}{\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot ({{\nu }_{2}}+{{\nu }_{1}})}{{{\nu }_{2}}-{{\nu }_{1}}}}=\frac{{{\nu }_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}\cdot (\frac{({{\nu }_{2}}+{{\nu }_{1}})+({{\nu }_{2}}-{{\nu }_{1}})}{{{\nu }_{2}}-{{\nu }_{1}}})}{\frac{{{\upsilon }_{1}}\cdot ({{\nu }_{2}}+{{\nu }_{1}})}{{{\nu }_{2}}-{{\nu }_{1}}}}. \\
 & {{\nu }_{0}}=\frac{2\cdot {{\nu }_{1}}\cdot {{\nu }_{2}}}{{{\nu }_{2}}+{{\nu }_{1}}}(5). \\
\end{align}
 \]