Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной

[Антон Огурцевич]

8. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J₀ относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.
1) Определим момент инерции через конец стержня:

\[ \begin{align}
  & {{J}_{A}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{d}^{2}},{{J}_{A}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{(\frac{l}{2})}^{2}},{{J}_{A}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot \frac{{{l}^{2}}}{4},{{J}_{A}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{3}. \\
 & {{J}_{A}}=\frac{0,36\cdot {{0,5}^{2}}}{3}=0,03. \\
\end{align} \]

2) Определим момент инерции через точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины.

\[ \begin{align}
  & {{J}_{O}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{d}^{2}},{{J}_{O}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{(\frac{l}{2}-\frac{l}{6})}^{2}},{{J}_{O}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{(\frac{l}{3})}^{2}}, \\
 & {{J}_{O}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot \frac{{{l}^{2}}}{9},{{J}_{O}}=\frac{7\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{36}. \\
 & {{J}_{O}}=\frac{7\cdot 0,36\cdot {{0,5}^{2}}}{36}=0,0175. \\
 &  \\
\end{align}
 \]

Ответ: 0,03 кг∙м², 0,0175 кг∙м².