Решение.
Мяч участвует в двух движениях:
Равномерном – относительно оси
Ох и равнопеременном - относительно оси
Оу с ускорением
g = 10 м/с
2.
Запишем формулу для определения дальности полета:
\[ s={{\vec{\upsilon }}_{0}}\cdot t\ \ \ (1). \]
Найдем проекции на ось
Ох:
\[ s={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t\ \ \ (2). \]
Запишем формулу для определения координаты при прямолинейном движении с постоянным ускорением:
\[ Y(t)={{h}_{0}}+{{\vec{\upsilon }}_{0}}\cdot t+\frac{\vec{g}\cdot {{t}^{2}}}{2}\ \ \ (3). \]
Найдем проекции на ось
Оу (
h0 = 0):
\[ Y(t)={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}\ \ \ (4). \]
Максимальная дальность достигается при условии
Y(t) = 0, определим время достижения максимальной дальности и максимальную дальность.
\[ \begin{align}
& {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}=0,\ t\cdot ({{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha -\frac{g\cdot t}{2})=0,\ t=0,\ t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g}(5). \\
& t=\frac{2\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{10}=\sqrt{2}=1,41. \\
& s={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha }{g}=\frac{2\cdot \upsilon _{0}^{2}\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha }{g}(6). \\
& s=\frac{2\cdot 10\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{10}=10. \\
\end{align} \]
Максимальная высота полета достигается при условии что время до максимальной высоты в два раза меньше за все время полета.
tmахh = t/2 (7).
(5) подставим в (4) определим максимальную высоту полета.
\[ {{h}_{\max }}={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin \alpha \cdot \frac{t}{2}-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2\cdot 4}.{{h}_{\max }}=10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{10\cdot {{(\sqrt{2})}^{2}}}{8}=2,5.
\]
Ответ:
1) время полета
t = 1,41 с,
2) дальность полета
s = 10 м,
3) максимальная высота полета
h = 2,5 м.
