Решение.
Определим максимальную высоту подъёма. Движение тела брошенного под углом к горизонту описывается формулами:
\[ \begin{align}
& x={{\upsilon }_{0x}}\cdot t,{{\upsilon }_{0x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha ,x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t(2), \\
& y={{\upsilon }_{0y}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},{{\upsilon }_{0y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,y={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(3). \\
\end{align}
\]
В конце полета скорость равна нулю, определим время полета:
\[ \begin{align}
& 0={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},\frac{g\cdot t}{2}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,t=0, \\
& t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g}(4). \\
\end{align} \]
Время движения до наивысшего пункта траектории в два раза меньше времени всего полета, определим максимальную высоту полета:
\[ \begin{align}
& {{t}_{{}^{1}/{}_{2}}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g}(4).{{h}_{\max }}={{\upsilon }_{0y}}\cdot {{t}_{{}^{1}/{}_{2}}}-\frac{g\cdot t_{{}^{1}/{}_{2}}^{2}}{2}, \\
& {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot \frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g}-\frac{g}{2}\cdot {{(\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g})}^{2}}, \\
& {{h}_{\max }}=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot si{{n}^{2}}\alpha }{2\cdot g}(6). \\
\end{align}
\]
(4) подставим в (2) определим дальность полета:
\[ s={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot \frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g},s=\frac{2\cdot \upsilon _{0}^{2}\cdot sin\alpha \cdot \cos \alpha }{g}(7).
\]
Максимальная высота подъёма связана с дальностью полета соотношением:
h = s/4 (8 ).
Подставим (7) и (6) в (8 ) определим угол, под которым тело брошено к горизонту.
\[ \begin{align}
& \frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot si{{n}^{2}}\alpha }{2\cdot g}=\frac{2\cdot \upsilon _{0}^{2}\cdot sin\alpha \cdot \cos \alpha }{4\cdot g},sin\alpha =\cos \alpha ,\frac{sin\alpha }{\cos \alpha }=1,tg\alpha =1, \\
& \alpha =\frac{\pi }{4}. \\
\end{align} \]
Ответ: 45°.
