Решение. Запишем формулу для определения изменения потенциальной энергии тела при достижении им наивысшей точки подъёма:
\[ \begin{align}
& \Delta E={{E}_{h}}-{{E}_{0}},\,{{E}_{0}}=0,\,\Delta E={{E}_{h}},{{E}_{h}}=m\cdot g\cdot h(1), \\
& \Delta E=m\cdot g\cdot h(2). \\
\end{align} \]
Определим максимальную высоту подъёма. Движение тела брошенного под углом к горизонту описывается формулами:
\[ \begin{align}
& x={{\upsilon }_{0x}}\cdot t,{{\upsilon }_{0x}}={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha ,x={{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha \cdot t(2), \\
& y={{\upsilon }_{0y}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},{{\upsilon }_{0y}}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,y={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(3). \\
\end{align} \]
В конце полета скорость равна нулю, определим время полета:
\[ \begin{align}
& 0={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},\frac{g\cdot t}{2}={{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha ,t=0, \\
& t=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g}(4). \\
\end{align} \]
Время движения до наивысшего пункта траектории в два раза меньше времени всего полета, определим максимальную высоту полета:
\[ \begin{align}
& {{t}_{{}^{1}/{}_{2}}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g}(4).{{h}_{\max }}={{\upsilon }_{0y}}\cdot {{t}_{{}^{1}/{}_{2}}}-\frac{g\cdot t_{{}^{1}/{}_{2}}^{2}}{2}, \\
& {{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha \cdot \frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g}-\frac{g}{2}\cdot {{(\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot sin\alpha }{g})}^{2}}, \\
& {{h}_{\max }}=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot si{{n}^{2}}\alpha }{2\cdot g}(6). \\
\end{align} \]
(6) подставим в (1) определим изменения потенциальной энергии тела при достижении им наивысшей точки подъёма.
\[ \begin{align}
& \Delta E=m\cdot g\cdot \frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot si{{n}^{2}}\alpha }{2\cdot g}=m\cdot \frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot si{{n}^{2}}\alpha }{2}(7). \\
& \Delta E=2\cdot \frac{{{6}^{2}}\cdot {{(\frac{1}{2})}^{2}}}{2}=9. \\
& \\
\end{align}
\]
Ответ: 9 Дж.
