Решение.
Рассмотрим движение электрона в плоском горизонтальном конденсаторе, определим скорость электрона при вылете из конденсатора. Покажем рисунок . Скорость определим по формуле:
\[ \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{0}}+{{\vec{\upsilon }}_{y}},\upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+\upsilon _{y}^{2}}(1). \]
Со стороны пластин на электрон действует сила Кулона.
\[ \begin{align}
& {{F}_{K}}=e\cdot E(2),{{F}_{K}}=m\cdot a(3),a=\frac{{{\upsilon }_{y}}}{t}(4),t=\frac{l}{{{\upsilon }_{0}}}(5),e\cdot E=m\cdot a, \\
& e\cdot E=m\cdot \frac{{{\upsilon }_{y}}\cdot {{\upsilon }_{0}}}{l},{{\upsilon }_{y}}=\frac{e\cdot E\cdot l}{m\cdot {{\upsilon }_{0}}}(6).\upsilon =\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+{{(\frac{e\cdot E\cdot l}{m\cdot {{\upsilon }_{0}}})}^{2}}}(7). \\
& \upsilon =\sqrt{{{({{10}^{7}})}^{2}}+{{(\frac{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot {{10}^{4}}\cdot 5\cdot {{10}^{-2}}}{9,1\cdot {{10}^{-31}}\cdot {{10}^{7}}})}^{2}}}=1,33\cdot {{10}^{7}}. \\
\end{align}
\]
Определим угол α под которым электрон вылетает из электрического поля и влетает в магнитное поле.
\[ \frac{{{\upsilon }_{0}}}{\upsilon }=\sin \alpha ,\sin \alpha =\frac{{{10}^{7}}}{1,33\cdot {{10}^{7}}}=0,7519.
\]
Где:
е – модуль заряда электрона,
е = 1,6∙10
-19 Кл,
m – масса электрона,
m = 9,1∙10
-31 кг,
В – индукция магнитного поля. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны силовым линиям электрического поля.
На заряженную частицу действует сила Лоренца, и сила Лоренца является центростремительной силой, выразим скорость частицы относительно оси
Ох.
\[ \begin{align}
& {{F}_{L}}=q\cdot B\cdot {{\upsilon }_{x}},\ {{F}_{L}}=m\cdot a,\ a=\frac{\upsilon _{x}^{2}}{R},q\cdot B\cdot \upsilon \ =m\cdot \frac{\upsilon _{x}^{2}}{R}, \\
& {{\upsilon }_{x}}=\frac{q\cdot B\cdot R}{m}\ \ \ (1),{{\upsilon }_{x}}=\upsilon \cdot \sin \alpha ,R=\frac{\upsilon \cdot \sin \alpha \cdot m}{q\cdot B}, \\
& R=\frac{1,33\cdot {{10}^{7}}\cdot 0,7519\cdot 9,1\cdot {{10}^{-31}}}{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot {{10}^{-2}}}=5,67\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]
Из этих формул также получаем формулу для расчета времени одного оборота:
\[ R=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{x}}}{q\cdot B},\ T=\frac{2\cdot \pi \cdot R}{{{\upsilon }_{x}}},\ T=\frac{2\cdot \pi \cdot m}{q\cdot B}\ \ \ (4). \]
Вдоль силовых линий поля магнитная сила не действует, поэтому частица движется прямолинейно с постоянной скоростью.
\[ \begin{align}
& {{\upsilon }_{Y}}=\frac{h}{T},\ {{\upsilon }_{Y}}=\frac{h\cdot q\cdot B}{2\cdot \pi \cdot m}\ ,{{\upsilon }_{Y}}=\upsilon \cdot \cos \alpha ,\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }, \\
& \upsilon \cdot \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }\ =\ \frac{h\cdot q\cdot B}{2\cdot \pi \cdot m},\,h=\frac{2\cdot \pi \cdot m\cdot \upsilon \cdot \sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }}{q\cdot B}. \\
& h=\frac{2\cdot 3,14\cdot 9,1\cdot {{10}^{-31}}\cdot 1,33\cdot {{10}^{7}}\cdot \sqrt{1-{{(0,7519)}^{2}}}}{1,6\cdot {{10}^{-19}}\cdot {{10}^{-2}}}=31,32\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align}
\]
Ответ:
R = 6,67∙10
-3 м,
h = 31,32∙10
-3 м.
