Решение.
Термический КПД - отношение работы, совершенной в прямом обратимом термодинамическом цикле, к теплоте, сообщенной рабочему телу от внешних источников.
\[ \eta =\frac{{{Q}_{1}}-{{Q}_{2}}}{{{Q}_{1}}}(1). \]
Температура увеличивается на участках
1 → 2, на этом участке газ получает некоторое количество теплоты от нагревателя
Q1.
Температура не изменяется на участке
3 → 1, объем на этом участке уменьшается, над газом совершается работа. При изотермическом процессе
А = Q, на этом участке газ отдает холодильнику некоторое количество теплоты
Q2 = А. 2 → 3 – адиабатный процесс, на этом участке газ не получает и не отдает теплоту.
Определим количество теплоты, переданное газу. Учитываем, что газ одноатомный и идеальный. Выразим начальный объем газа.
1 → 2 – изобарный процесс,
р = соnst.\[ \begin{align}
& {{Q}_{12}}={{A}_{12}}+\Delta {{U}_{12}},\ {{A}_{12}}=\nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}}),\ \Delta {{U}_{12}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}}),\ \\
& {{Q}_{12}}=\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})(2).\ \\
& \frac{{{T}_{1}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{T}_{2}}}{{{V}_{2}}},{{V}_{1}}=\frac{{{V}_{2}}\cdot {{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}(3). \\
\end{align} \]
Определим работу совершенную над газом при изотермическом процессе.
При изотермическом процессе выполняется условие:
р∙V = соnst,
для некоторых начальных условий
р1 и
V1 можно записать:
\[ p=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{V},\ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}=\nu \cdot R\cdot T. \]
R – универсальная газовая постоянная,
R = 8,31 Дж/моль.
Работа газа при изотермическом процессе определяется по формуле:
\[ A=\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{3}}}{pdV.} \]
Получим:
\[ A={{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{3}}}{\frac{dV}{V}}=\nu \cdot R\cdot T\cdot \ln \frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{1}}}(4). \]
Определим объем
V3. Рассмотрим адиабатный процесс. Запишем уравнение адиабаты:
Т∙Vk-1 = соnst (5).
k – показатель адиабаты,
\[ k=\frac{{{C}_{p}}}{{{C}_{V}}}\ \ \ (6). \]
Ср и СV – теплоемкость при изобарном и изохорном процессе, газ одноатомный, для одноатомных газов
k = 1,67.
\[ \begin{align}
& {{T}_{2}}\cdot V_{2}^{1,67-1}={{T}_{1}}\cdot V_{3}^{1,67-1},\ \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}={{(\frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{2}}})}^{0,67}},\ {{(\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}})}^{\frac{1}{0,67}}}=\frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{2}}},\, \\
& {{V}_{3}}={{V}_{2}}\cdot {{(\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}})}^{\frac{1}{0,67}}}(7). \\
\end{align} \]
(7) и (3) подставим в (4) определим работу над газом которая равна количеству теплоты которое отдает газ.
\[ \begin{align}
& A={{Q}_{2}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot \ln \frac{{{T}_{2}}}{{{V}_{2}}\cdot {{T}_{1}}}\cdot {{V}_{2}}\cdot {{(\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}})}^{\frac{1}{0,67}}},{{Q}_{2}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot \ln \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\cdot {{(\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}})}^{\frac{1}{0,67}}}, \\
& {{Q}_{2}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot \ln {{(\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}})}^{1+\frac{1}{0,67}}},{{Q}_{2}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot (1+\frac{1}{0,67})\cdot \ln (\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}})(8). \\
\end{align} \]
(8 ) и (2) подставим в (1) определим термический КПД цикла.
\[ \begin{align}
& \eta =\frac{\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})-\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot (\frac{1,67}{0,67})\cdot \ln (\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}})}{\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})},\eta =\frac{\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})-{{T}_{1}}\cdot (\frac{1,67}{0,67})\cdot \ln (\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}})}{\frac{5}{2}\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})}(9). \\
& \eta =\frac{\frac{5}{2}\cdot (600-300)-300\cdot (\frac{1,67}{0,67})\cdot \ln (\frac{600}{300})}{\frac{5}{2}\cdot (600-300)}=0,3. \\
& \\
\end{align} \]
Ответ: 30,0 %
