Определить величину наибольшего сжатия пружины

[Антон Огурцевич]

13. Груз массой m = 0,5 кг свободно падает с высоты h = 2 м на плиту M = 1 кг, укреплённую на пружине. Определить величину наибольшего сжатия пружины, если известно, что при действии на неё силы F = 9,8 H она сжимается на x = 1 см. Удар считать неупругим. Сделать рисунок.

[Эдуард]

Найдем с помощью сохранения энергии скорость груза в момент столкновения
\[ \begin{align}
  & mgh=\frac{m{{\upsilon }^{2}}}{2}\Rightarrow \upsilon =\sqrt{2gh},(1) \\
 & \upsilon =6,26 м/с \\
\end{align}  \]
Скорость движения плиты и груза, определим с помощью закона сохранения импульса
\[ \begin{align}
  & m\upsilon =\left( m+M \right)\cdot u, \\
 & u=\frac{m\upsilon }{m+M},(2) \\
 & u=2,087 м/с. \\
\end{align} \]
Коэффициент упругости пружины определим из закона Гука
\[ \begin{align}
  & {{F}_{упр}}=kx\Rightarrow k=\frac{{{F}_{упр}}}{x}, \\ 
 & k=980 H/м. \\
\end{align}  \]
Наибольшее сжатие пружины найдем с помощью закона сохранения энергии
\[ \begin{align}
  & (m+M)gH+\frac{(m+M){{u}^{2}}}{2}=\frac{k{{H}^{2}}}{2}, \\
 & \frac{k{{H}^{2}}}{2}-(m+M)gH-\frac{(m+M){{u}^{2}}}{2}=0, \\
 & {{H}^{2}}-\frac{2(m+M)g}{k}H-\frac{(m+M){{u}^{2}}}{k}=0, \\
 & {{H}^{2}}-0,03\cdot H-0,006666667=0. \\
\end{align} \]
Решая квадратное уравнение, получаем ответы: H₁ = 0,098016 м, H₂ =  -0,06802 м.
Отрицательный ответ отбрасываем.
Ответ: H = 0,098 м = 9,8 см.