Емкость плоского конденсатора \[C = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}\] .
При отодвигании одной пластины на расстояние d/2, образуется воздушный зазор и система представляет собой два последовательно соединенных конденсатора с емкостями \[C{_1} = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}\] и \[C{_2} = \frac{{{\varepsilon _{возд}}{\varepsilon _0}S}}{{\frac{d}{2}}} = \frac{{2{\varepsilon _{возд}}{\varepsilon _0}S}}{d},\,\,\,{\varepsilon _{возд}} = 1\RightarrowС\,{_2} = \frac{{2{\varepsilon _0}S}}{d}\].
Емкость батареи при последовательном соединении
\[\frac{1}{С}=\frac{1}{С_{1}}+\frac{1}{С_{2}}\]
\[\frac{1}{{\frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}}} + \frac{1}{{\frac{{2{\varepsilon _0}S}}{d}}} = \frac{d}{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}} + \frac{d}{{2{\varepsilon _0}S}}\]
\[\frac{1}{C}=\frac{{d\left( {2 + \varepsilon } \right)}}{{2\varepsilon {\varepsilon _0}S}}\Rightarrow C= \frac{{2\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{{d\left( {2 + \varepsilon } \right)}}\]
Емкость уменьшилась в \[\frac{2}{{\left( {2 + \varepsilon } \right)}}\] раз.
Находим значении ε, при котором ёмкость конденсатора уменьшится в 2 раза:
\[\frac{2}{{2 + \varepsilon }} = \frac{1}{2}\\\]
\[2 + \varepsilon = 4,\;\;\varepsilon = 2\]
Если предположить, что в условии имелось в виду увеличение емкости в 2 раза, то
\[\frac{2}{{2 + \varepsilon }} = 2\] и \[\varepsilon = -1\], что не имеет физического смысла.
Ответ: 2.
