Решение.
Линейное ускорение цилиндра определим по формуле
\[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot h},{{\upsilon }_{0}}=0,a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot h}(1). \]
Где:
h – высота с которой опустится цилиндр за некоторый промежуток времени, υ – скорость которую приобретет цилиндр за это время.
Для решения задачи применим закон сохранения энергии. Потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Кинетическая энергия состоит из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.
\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{I\cdot {{\omega }^{2}}}{2}\ \ \ (2).
\]
Где:
J – момент инерции цилиндра, ω – угловая скорость вращения цилиндра.
Момент инерции цилиндра определяется по формуле
\[ J=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}\ \ \ (3),
\]
угловая скорость по формуле
\[ \omega =\frac{\upsilon }{R}(4). \]
Подставим (4) и (3) в (2) выразим линейное ускорение цилиндра
\[ \begin{align}
& m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{m\cdot {{R}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2\cdot 2\cdot {{R}^{2}}},g\cdot h=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot 2},\ g\cdot h=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}\cdot \frac{3}{2}\ , \\
& \frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot h}\ =\frac{g\cdot 2}{3}=a(5). \\
& a=\frac{2\cdot 10}{3}=6,67. \\
\end{align}
\]
Ускорение с которым движется цилиндр, равно тангенциальному ускорению цилиндра, зная тангенциальное ускорение определим угловое ускорение цилиндра
\[ a=\varepsilon \cdot R,\varepsilon =\frac{a}{R}(5).\varepsilon =\frac{6,67}{0,1}=66,7.
\]
Ответ: 6,67 м/с
2, 66,7 рад/с
2.
