Частица массой

[Антон Огурцевич]

29. Частица массой m движется под действием силы F(вектор) = F₀(вектор)∙cosω∙t, где F₀(вектор), ω - некоторые постоянные. Определите положение частицы, т. е. выразите её радиус-вектор r(вектор) как функцию времени, если в начальный момент времени t = 0, r(0)(вектор) = 0, v(0)(вектор) = 0. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: запишем второй закон Ньютона
\[ F=m\cdot a=m\cdot \frac{d\upsilon }{dt}, \]
Согласно условия задачи
\[ F={{F}_{0}}\cdot \cos \omega t, \]
Приравняем и выразим приращение скорости
\[ {{F}_{0}}\cdot \cos \omega t=m\cdot \frac{d\upsilon }{dt},\text{          }d\upsilon =\frac{{{F}_{0}}}{m}\cdot \cos \omega t\cdot dt. \]
Проинтегрируем, чтобы найти зависимость скорости от времени
\[ \upsilon \left( t \right)=\int\limits_{0}^{t}{d\upsilon }=\int\limits_{0}^{t}{\frac{{{F}_{0}}}{m}\cdot \cos \omega t\cdot dt=}\frac{{{F}_{0}}}{m}\cdot \int\limits_{0}^{t}{\cos \omega t\cdot dt=}\frac{{{F}_{0}}}{m\omega }\cdot \left. \sin \omega t \right|_{0}^{t}=\frac{{{F}_{0}}}{m\omega }\cdot \sin \omega t. \]
Элементарное приращение радиус-вектора частицы:
\[ dr=\upsilon \left( t \right)\cdot dt, \]
Проинтегрируем выражение, чтобы получить зависимость радиус-вектора частицы от времени:
\[ r\left( t \right)=\int\limits_{0}^{t}{dr}=\int\limits_{0}^{t}{\upsilon \left( t \right)\cdot dt=}\int\limits_{0}^{t}{\frac{{{F}_{0}}}{m\cdot \omega }\cdot \sin \omega t\cdot dt=}\frac{{{F}_{0}}}{m\cdot \omega }\cdot \int\limits_{0}^{t}{\sin \omega t\cdot dt}= \]
\[ =\left. -\frac{{{F}_{0}}}{m\cdot {{\omega }^{2}}}\cdot \cos \omega t \right|_{0}^{t}=-\frac{{{F}_{0}}}{m\cdot {{\omega }^{2}}}\cdot \left( \cos \omega t-1 \right)=\frac{{{F}_{0}}}{m\cdot {{\omega }^{2}}}\cdot \left( 1-\cos \omega t \right). \]
Ответ: \[ r\left( t \right)=\frac{{{F}_{0}}}{m\cdot {{\omega }^{2}}}\cdot \left( 1-\cos \omega t \right). \]