На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом

[Антон Огурцевич]

44. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 20 см, момент инерции которого 0,15 кг∙м², намотана лёгкая нить, к концу которой прикреплён груз массой 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Покажем рисунок.
Момент сил которые действуют на сплошной цилиндрический вал определим по формуле:

М = J∙ε   (1), М = F_Н∙R   (2).

J – момент инерции маховика, ε – угловое ускорение движения маховика, F_Н – сила натяжения нити, R – радиус барабана.Сравним (1) и (2). Груз из состояния покоя движется равноускоренно, зная угловое ускорение запишем формулу для определения ускорения груза, а зная ускорение груза запишем формулу для определения времени опускания груза до пола.

\[  \begin{align}
  & J\cdot \varepsilon ={{F}_{H}}\cdot R(3),\varepsilon =\frac{a}{R}\ \ \ (4),h=\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2},a=\frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}}(5), \\
 & J\cdot \frac{a}{R}={{F}_{H}}\cdot R,J\cdot \frac{2\cdot h}{R\cdot {{t}^{2}}}={{F}_{H}}\cdot R,J\cdot \frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}}={{F}_{H}}\cdot {{R}^{2}}(6). \\
\end{align} \]

Используя второй закон Ньютона определим силу натяжения нити.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ {{{\vec{F}}}_{H}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a},\ a=\frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}}, \\
 & Oy:\ -{{F}_{H}}+m\cdot g=m\cdot a,\ {{F}_{H}}=m\cdot g-m\cdot a,{{F}_{H}}=m\cdot g-m\cdot \frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}}\ \ (7). \\
\end{align}
 \]

(7) подставим в (6) определим время

\[ \begin{align}
  & J\cdot \frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}}=(m\cdot g-m\cdot \frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}})\cdot {{R}^{2}},J\cdot \frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}}=m\cdot g\cdot {{R}^{2}}-m\cdot \frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}}\cdot {{R}^{2}}, \\
 & J\cdot \frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}}+m\cdot \frac{2\cdot h}{{{t}^{2}}}\cdot {{R}^{2}}=m\cdot g\cdot {{R}^{2}},\frac{1}{{{t}^{2}}}\cdot (J\cdot 2\cdot h+m\cdot 2\cdot h\cdot {{R}^{2}})=m\cdot g\cdot {{R}^{2}}, \\
 & {{t}^{2}}=\frac{J\cdot 2\cdot h+m\cdot 2\cdot h\cdot {{R}^{2}}}{m\cdot g\cdot {{R}^{2}}},t=\sqrt{\frac{J\cdot 2\cdot h+m\cdot 2\cdot h\cdot {{R}^{2}}}{m\cdot g\cdot {{R}^{2}}}}(8). \\
 & t=\sqrt{\frac{0,15\cdot 2\cdot 2,3+0,5\cdot 2\cdot 2,3\cdot {{0,2}^{2}}}{0,5\cdot 9,8\cdot {{0,2}^{2}}}}=2,0. \\
\end{align} \]

Время подставим в (7) определим силу натяжения нити

\[ {{F}_{H}}=0,5\cdot 9,8-\frac{0,5\cdot 2\cdot 2,3}{{{2,0}^{2}}}=4,31. \]

Определим кинетическую энергию груза в момент удара о пол

\[ {{E}_{K}}=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\upsilon =\frac{h}{2}\cdot t.\,\upsilon =\frac{2,3}{2}\cdot 2,0=2,3,{{E}_{K}}=\frac{0,5\cdot {{2,3}^{2}}}{2}=1,32.
 \]

Ответ: 2,0 с, 4,31 Н, 1,32 Дж.