Координаты центра масс материальных точек:\[ \begin{gathered}
{x_с} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot {m_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}} }},\;{y_с} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i} \cdot {m_i}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}} }}. \hfill \\
{x_с} = \frac{{{x_1} \cdot 2m + {x_2} \cdot m + {x_3} \cdot 3m + {x_4} \cdot 4m}}{{2m + m + 3m + 4m}} = \frac{{{x_1} \cdot 2 + {x_2} + {x_3} \cdot 3 + {x_4} \cdot 4}}{{10}}, \hfill \\
{y_с} = \frac{{{y_1} \cdot 2{m_i} + {y_2} \cdot m + {y_3} \cdot 3m + {y_4} \cdot 4m}}{{2m + m + 3m + 4m}} = \frac{{{y_1} \cdot 2 + {y_2} + {y_3} \cdot 3 + {y_4} \cdot 4}}{{10}}. \hfill \\
\end{gathered} \]
Определяем координаты, учитывая, что координата у3 равна высоте равностороннего треугольника
\[ {y_3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}, \] точка пересечения высот делит ее в отношении 1:2 и координата у2 будет равна \[ {y_2} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}, \]
и что высота делит основание треугольника пополам, т.е. \[ {x_2} = {x_3} = \frac{a}{2}. \]
Остальные координаты видны из рисунка.
\[ \begin{gathered}
{x_1} = 0,\;\;{y_1} = 0 \hfill \\
{x_2} = \frac{a}{2},\;\;{y_2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
{x_3} = \frac{a}{2},\;\;{y_3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
{x_4} = a,\;\;{y_4} = 0. \hfill \\
\end{gathered} \]
\[ \begin{gathered}
{x_с} = \frac{{0 \cdot 2 + \frac{a}{2} \cdot 1 + \frac{a}{2} \cdot 3 + a \cdot 4}}{{10}} = \frac{{\frac{{20}}{2} + \frac{{20}}{2} \cdot 3 + 20 \cdot 4}}{{10}} = 12, \hfill \\
{y_с} = \frac{{0 \cdot 2 + \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \cdot 1 + \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot 3 + 0 \cdot 4}}{{10}} = \frac{{\frac{{20\sqrt 3 }}{6} + \frac{{20\sqrt 3 }}{2} \cdot 3}}{{10}} = 5,77. \hfill \\
\end{gathered} \]
Ответ: хс = 12 см; ус = 5,77 см.
