Решение. Определим скорость сплошного однородного цилиндра у основания горки.
Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Кинетическая энергия состоит из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.
\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{J\cdot {{\omega }^{2}}}{2}\ \ \ (1). \]
Где:
m – масса тела которое скатывается,
h – высота с которой скатывается тело (см. рис.), υ – линейная скорость тела,
J – момент инерции тела, ω – угловая скорость вращения тела.
Угловая скорость связана с линейной скоростью
\[ \omega =\frac{\upsilon }{R}\ \ \ (2). \]
Момент инерции сплошного цилиндра определяется по формуле
\[ J=\frac{m\cdot {{R}^{2}}}{2}\ \ \ (3).
\]
Подставим (3) и (2) в (1) определить скорость поступательного движения цилиндра в конце наклонной плоскости
\[ \begin{align}
& m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{m\cdot {{R}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2\cdot 2\cdot {{R}^{2}}},g\cdot h=\frac{3\cdot {{\upsilon }^{2}}}{4},\ {{\upsilon }^{2}}=\frac{4\cdot g\cdot h}{3},\upsilon =\sqrt{\frac{4\cdot g\cdot h}{3}}\ \ \ (4). \\
& \upsilon =\sqrt{\frac{4\cdot 10\cdot 0,5}{3}}=2,58. \\
\end{align} \]
Для нахождения скорости второго диска воспользуемся законами сохранения энергии и импульса для абсолютно упругого удара. Предположим, что после упругого центрального взаимодействия цилиндры будут двигаться в противоположные стороны.
Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось
\[ {{m}_{1}}\cdot \vec{\upsilon }={{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}.Ox:{{m}_{1}}\cdot \upsilon =-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}(5). \]
При абсолютно упругом ударе сохраняется кинетическая энергия, причем движутся одинаковые по размеру цилиндры. В момент соударения учитываем кинетическую энергию поступательного движения цилиндров
\[ \frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}(6). \]
Решим систему уравнений (5) и (6) определим скорость первого цилиндра
\[ \begin{align}
& {{m}_{1}}\cdot \upsilon +{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}={{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}},{{\upsilon }_{2}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon +{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{2}}}, \\
& {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }^{2}}={{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}+{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{2}^{2},{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }^{2}}={{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}+{{m}_{2}}\cdot {{(\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon +{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{2}}})}^{2}}, \\
& {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{1}^{2}+\frac{1}{{{m}_{2}}}\cdot ({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }^{2}}+{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}+2\cdot {{m}_{1}}\cdot \upsilon \cdot {{\upsilon }_{1}}),{{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{1}^{2}+\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}\cdot ({{\upsilon }^{2}}+\upsilon _{1}^{2}+2\cdot \upsilon \cdot {{\upsilon }_{1}}), \\
& {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{1}^{2}+0,5\cdot {{\upsilon }^{2}}+0,5\cdot \upsilon _{1}^{2}+\upsilon \cdot {{\upsilon }_{1}}, \\
& 1,5\cdot \upsilon _{1}^{2}+\upsilon \cdot {{\upsilon }_{1}}-0,5\cdot {{\upsilon }^{2}}=0. \\
& 1,5\cdot \upsilon _{1}^{2}+2,58\cdot {{\upsilon }_{1}}-0,5\cdot {{2,58}^{2}}=0. \\
& D={{2,58}^{2}}-4\cdot 1,5\cdot (-0,5\cdot {{2,58}^{2}})=26,6256. \\
& {{\upsilon }_{1}}=\frac{-2,58+\sqrt{26,6256}}{2\cdot 1,5}=0,86,{{\upsilon }_{1}}=\frac{-2,58-\sqrt{26,6256}}{2\cdot 1,5}=-2,58. \\
& {{\upsilon }_{2}}=\frac{1\cdot 2,58+1\cdot 0,86}{2}=1,72,{{\upsilon }_{2}}=\frac{1\cdot 2,58+1\cdot (-2,58)}{2}=0. \\
\end{align}
\]
Случай где скорость -2,58 м/с не возможен.
Ответ: 0,86 м/с.
