Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца

[Антон Огурцевич]

170. Определите магнитную индукцию B_A на оси тонкого проволочного кольца радиусом 10 см, в точке, расположенной на расстоянии 20 см от центра кольца, если при протекании тока по кольцу в центре кольца B = 50 мкТл. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Для решения задачи используем закон Био-Савара-Лапласа

\[ \ \ dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot \sin \alpha dl}{4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}}(1). \]

Где dB -  магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длиной dl с током I; r -  радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция; α - угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе проводника, μ₀ = 4∙π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.
 Магнитная индукция магнитного поля кругового тока на расстоянии d от центра окружности определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & \sin \alpha =\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{d}^{2}}}}(2),{{r}^{2}}={{R}^{2}}+{{d}^{2}}(3), \\
 & {{B}_{A}}=\int\limits_{0}^{2\cdot \pi \cdot R}{dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot R}{4\cdot \pi \cdot \sqrt{{{R}^{2}}+{{d}^{2}}}\cdot ({{R}^{2}}+{{d}^{2}})}}\int\limits_{0}^{2\cdot \pi \cdot R}{dl=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot R}{4\cdot \pi \cdot {{({{R}^{2}}+{{d}^{2}})}^{\frac{3}{2}}}}}\ \cdot \ \left. l \right|_{0}^{2\cdot \pi \cdot R}\ = \\
 & \frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot R}{4\cdot \pi \cdot {{({{R}^{2}}+{{d}^{2}})}^{\frac{3}{2}}}}\cdot 2\cdot \pi \cdot R.{{B}_{A}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I\cdot {{R}^{2}}}{2\cdot {{({{R}^{2}}+{{d}^{2}})}^{\frac{3}{2}}}}\,(4). \\
\end{align} \]

Магнитная индукция в центре кругового витка с током определяется по формуле, зная магнитную индукцию в центре кольца выразим силу тока в кольце

\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{2\cdot R},I=\frac{2\cdot R\cdot B}{{{\mu }_{0}}}(5).
 \]

(5) подставим в (4) определим магнитную индукцию B_A на оси тонкого проволочного кольца

\[ \begin{align}
  & {{B}_{A}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot 2\cdot R\cdot B\cdot {{R}^{2}}}{{{\mu }_{0}}\cdot 2\cdot {{({{R}^{2}}+{{d}^{2}})}^{\frac{3}{2}}}},{{B}_{A}}=\frac{B\cdot {{R}^{3}}}{{{({{R}^{2}}+{{d}^{2}})}^{\frac{3}{2}}}}. \\
 & {{B}_{A}}=\frac{50\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{(0,1)}^{3}}}{{{({{(0,1)}^{2}}+{{(0,2)}^{2}})}^{\frac{3}{2}}}}=4,5\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 4,5∙10^-6 Тл.