Получить формулу

[Антон Огурцевич]

5.112. 1. Полагая, что число m, определяющее порядок дифракционного максимума, изменяется непрерывно, получить формулу для δφ/δm в зависимости от m. Эта формула даёт при подстановке в неё m=k+1/2 приближённое значение углового расстояния между k-м и (k+1)-м максимумами. Сделать рисунок.

[Gala]

Положим, что угловое расстояние между линиями, отличающимися друг от друга на δm, равно δφ. Так как максимумы наблюдаются при  \[ d\sin \varphi  = m\lambda,  \]  то, дифференцируя это выражение, получаем:
\[d \cdot \cos \varphi \delta \varphi  = \lambda  \cdot \delta m.\;\]
\[\frac{{\delta \varphi }}{{\delta m}} = \frac{\lambda }{{d \cdot \cos \varphi }}\;\]
\[\cos \varphi  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi }  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{m\lambda }}{d}} \right)}^2}}  = \frac{1}{d}\sqrt {{d^2} - {m^2}{\lambda ^2}} ,\]
так как \[\sin \varphi  = \frac{{m\lambda }}{d}.\]
\[\frac{{\delta \varphi }}{{\delta m}} = \frac{\lambda }{{d \cdot \frac{1}{d}\sqrt {{d^2} - {m^2}{\lambda ^2}} }}\;\]
\[\frac{{\delta \varphi }}{{\delta m}} = \frac{\lambda }{{\sqrt {{d^2} - {m^2}{\lambda ^2}} }}\]
\[\delta \varphi  = \frac{\lambda }{{\sqrt {{d^2} - {m^2}{\lambda ^2}} }}\delta m.\;\;\;(1)\]
Проверяем, дает ли эта формула значение углового расстояния между k-м и k+1-м максимумами.
Угловое расстояние между k-м и k+1-м максимумами находим из формулы дифракционной решетки:
\[d\sin {\varphi _1} = k\lambda \]
\[d\sin {\varphi _2} = \left( {k + 1} \right)\lambda ,\]
\[\sin {\varphi _2} - \sin {\varphi _1} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\lambda  - k\lambda }}{d}\]
\[\sin {\varphi _2} - \sin {\varphi _1} = \frac{\lambda }{d}.\]
По формуле разности синусов:
\[\sin {\varphi _2} - \sin {\varphi _1} = 2\sin \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2}\cos \frac{{{\varphi _2} - {\varphi _1}}}{2} = \frac{\lambda }{d}.\]
\[{\varphi _2} - {\varphi _1} = \delta \varphi \]
\[\frac{{{\varphi _2} + {\varphi _1}}}{2} = \varphi \] для небольших углов, тогда \[{\text{2}}\frac{{\delta \varphi }}{2} \cdot \cos \varphi  = \frac{\lambda }{d}\]
\[\delta \varphi  = \frac{\lambda }{{d \cdot \cos \varphi }} = \frac{\lambda }{{d \cdot \sqrt {1 - {{\sin }^2}\varphi } }} = \frac{\lambda }{{d \cdot \sqrt {1 - \frac{{{k^2}{\lambda ^2}}}{{{d^2}}}} }} = \frac{\lambda }{{d \cdot \frac{1}{d}\sqrt {{d^2} - {k^2}{\lambda ^2}} }}\]
\[\delta \varphi  = \frac{\lambda }{{\sqrt {{d^2} - {k^2}{\lambda ^2}} }}.\]
Эта формула совпадает с формулой (1) для δm=1.

Ответ: \[\frac{{\delta \varphi }}{{\delta m}} = \frac{\lambda }{{\sqrt {{d^2} - {m^2}{\lambda ^2}} }}.\]

[Gala]

вот что получается дальше.
Рассчитываем угловое расстояние приближенно и точно.
В условии, в задачнике Савельева, предлагается принять λ/d = 0,3. приближенно получается:
\[ \delta \varphi  = \frac{\lambda }{d}\sqrt {{d^2} - {m^2}{\lambda ^2}}  \cdot \delta m \]
Для m = k+1/2, угловое расстояние между k-м и k+1-м максимумами равно
\[ \frac{{\delta \varphi }}{{\delta m}} = \frac{\lambda }{d}\sqrt {{d^2} - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}{\lambda ^2}}  = \frac{\lambda }{d}\sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}\frac{{{\lambda ^2}}}{{{d^2}}}},  \] так как \[ k = 1,\;\delta m = 1\;m = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
\[ \delta \varphi  = 0,3\sqrt {1 - \frac{9}{4} \cdot {{0,3}^2}}  = 0,27 \]
0,27рад = 15,45⁰.
Точный расчет делаем, воспользовавшись формулой \[ d\sin \varphi  = m\lambda  \]:
\[ {\varphi _1} = \arcsin \frac{{m\lambda }}{d} = \arcsin \left( {1 \cdot 0,3} \right) = {17,45^0} \]
\[ {\varphi _2} = \arcsin \frac{{\left( {m + 1} \right)\lambda }}{d} = \arcsin \left( {2 \cdot 0,3} \right) = {36,86^0} \]
\[ \delta \varphi  = 36,86 - 17,45 = {19,42^0}. \]
Не очень сходится 19,42 и 15,45.