В опыте Ллойда

[Антон Огурцевич]

2.3. В опыте Ллойда (рис. 3.4 стр. 42) расстояние от источника до экрана L = 100 см. При некотором положении источника ширина интерференционной полосы на экране равна 0,25 мм, а после того как источник отодвинули от плоскости зеркала ещё на Δh = 0,6 мм, ширина полос уменьшилась в 1,5 раза. Найти длину волны света. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. В опыте, предложенном Ллойдом, интерферируют лучи, исходящие непосредственно от источника S₁ (рисунок) и отраженные от поверхности зеркала АВ. Лучи, отраженные от зеркала АВ, как бы исходят от мнимого источника S₂ когерентного с S₁. Поэтому интерференционная картина аналогична той которая получается при интерференции от двух точечных источников.
Запишем условие максимума.

∆d = d₂ – d₁ = k∙λ      (1).

По теореме Пифагора выразим d₁ и d₂:

\[ d_{2}^{2}={{L}^{2}}+{{({{x}_{k}}+\frac{d}{2})}^{2}},\ d_{1}^{2}={{L}^{2}}+{{({{x}_{k}}-\frac{d}{2})}^{2}}. \]

L – расстояние от источников до экрана, х_k – расстояние от нулевого до k максимума.
Преобразуем равенства:

\[ d_{2}^{2}-d_{1}^{2}=2\cdot {{x}_{k}}\cdot d,\ ({{d}_{2}}+{{d}_{1}})\cdot ({{d}_{2}}-{{d}_{1}})=2\cdot {{x}_{k}}\cdot d.
 \]

Примем:

\[ d\ll L,\ {{d}_{1}}+{{d}_{2}}=2\cdot L,\ {{d}_{2}}-{{d}_{1}}=\frac{{{x}_{k}}\cdot d}{L}\ \ \ (2). \]

Подставим (1) в (2) выразим х_k и определим расстояние между соседними максимумами. Расстояние между соседними максимумами равно ширине интерференционной полосе.

\[ \begin{align}
  & k\cdot \lambda =\frac{{{x}_{k}}\cdot d}{L},\ {{x}_{k}}=\frac{k\cdot L\cdot \lambda }{d},\ {{x}_{k+1}}=\frac{(k+1)\cdot L\cdot \lambda }{d}. \\
 & \Delta x={{x}_{k+1}}-{{x}_{k}},\ \Delta x=\frac{(k+1)\cdot l\cdot \lambda }{d}-\frac{k\cdot l\cdot \lambda }{d}, \\
 & \Delta x=\frac{L\cdot \lambda }{d}\ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Определим ширину полос после того как источник отодвинули от плоскости зеркала ещё на Δh, изображение тоже отодвинулось на ∆h

\[ D=d+2\cdot \Delta h,\Delta {{x}_{2}}=\frac{L\cdot \lambda }{d+2\cdot \Delta h}(4).

 \]

По условию задачи ширина полос уменьшилась в 1,5 раза, определим расстояние между источниками и длину волны

\[ \begin{align}
  & \Delta x=1,5\cdot \Delta {{x}_{2}},\frac{L\cdot \lambda }{d}=1,5\cdot \frac{L\cdot \lambda }{d+2\cdot \Delta h},1,5\cdot d=d+2\cdot \Delta h,0,5\cdot d=2\cdot \Delta h, \\
 & d=\frac{2\cdot \Delta h}{0,5}(5). \\
 & \Delta x=\frac{L\cdot \lambda \cdot 0,5}{2\cdot \Delta h},\lambda =\frac{2\cdot \Delta h\cdot \Delta x}{0,5\cdot L}\,\,\,\,(6).\lambda =\frac{2\cdot 0,6\cdot {{10}^{-3}}\cdot 0,25\cdot {{10}^{-3}}}{0,5\cdot 1}=0,6\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 600 нм.