Решение.
Потенциал от заряженного шара вычислим через электрическое поле, при этом удобно ноль потенциала установить на бесконечности. Общая формула для потенциала всевозможных шаров (полых, сплошных):
\[ \varphi =-\int\limits_{\infty }^{r}{Edr,{{E}_{1}}=\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}}},\,,{{E}_{2}}=\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{R}^{3}}}\cdot r,\varphi =-\int\limits_{\infty }^{R}{\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}}dr}-\int\limits_{R}^{r}{\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{R}^{3}}}\cdot rdr}. \]
Е1 – напряженность за шаром (напряженность поля точечного заряда),
Е2 – напряженность внутри шара.
Первый интеграл имеет смысл работы по переносу единичного положительного заряда из бесконечности до поверхности шара, второй интеграл от поверхности до центра шара.
\[ \begin{align}
& -\int\limits_{\infty }^{R}{\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}}dr}=\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot R},\int\limits_{R}^{r}{\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{R}^{3}}}\cdot rdr}=\frac{k\cdot q\cdot {{r}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }-\frac{k\cdot q\cdot {{R}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }, \\
& \varphi =\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot R}-\frac{k\cdot q\cdot {{r}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }+\frac{k\cdot q\cdot {{R}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }=\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot R}+\frac{k\cdot q\cdot {{R}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }-\frac{k\cdot q\cdot {{r}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }, \\
& \varphi =\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot R}+\frac{k\cdot q}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }\cdot ({{R}^{2}}-{{r}^{2}}). \\
\end{align} \]
Объёмную плотность заряда шара определим по формуле:
\[ \begin{align}
& \rho =\frac{q}{V},V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}},q=\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}.\varphi =\frac{k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}}{\varepsilon \cdot R}+\frac{k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }\cdot ({{R}^{2}}-{{r}^{2}}), \\
& \varphi =\frac{k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}}{\varepsilon }+\frac{k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi }{2\cdot \varepsilon }\cdot ({{R}^{2}}-{{r}^{2}}),k=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}, \\
& \varphi =\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}+\frac{\rho }{6\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot ({{R}^{2}}-{{r}^{2}})(1). \\
\end{align} \]
\[ \begin{align}
& r=0,\varphi =\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}+\frac{\rho }{6\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot {{R}^{2}},\varphi =\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}},\varphi =\frac{{{10}^{-6}}\cdot {{0,1}^{2}}}{2\cdot 2\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=282,4. \\
& r=R,\varphi =\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}+\frac{\rho }{6\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot ({{R}^{2}}-{{R}^{2}}),\varphi =\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}},\varphi =\frac{{{10}^{-6}}\cdot {{0,1}^{2}}}{3\cdot 2\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=188,3. \\
\end{align} \]
Ответ: 282,4 В, 188,3 В.
