Найти угол, составляемый вектором полного ускорения со скоростью

[Антон Огурцевич]

Тело движется по дуге окружности радиусом 38 м. Зависимость пройденного телом пути от времени задаётся уравнением S = A∙t - B∙t² + C∙t³, где A = 2 м/м, В = 3 м/с², С = 4 м/с³. Найти угол, составляемый вектором полного ускорения со скоростью в момент времени t₁ = 2 c. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Первая производная от перемещения есть скорость:

\[ \begin{align}
  & s\text{ }=\text{ }A\cdot t\text{ }-\text{ }B\cdot {{t}^{2}}+\text{ }C\cdot {{t}^{3}},s\text{ }=2\cdot t\text{ }-\text{ 3}\cdot {{t}^{2}}+\text{ 4}\cdot {{t}^{3}}(1). \\
 & \upsilon (t)=s(t)'=(2\cdot t\text{ }-\text{ 3}\cdot {{t}^{2}}+\text{ 4}\cdot {{t}^{3}})'=2-6\cdot t+12\cdot {{t}^{2}},\ \upsilon (t)=\ 2-6\cdot t+12\cdot {{t}^{2}}(2). \\
 & \upsilon (2)=\ 2-6\cdot 2+12\cdot {{2}^{2}}=38. \\
\end{align} \]

υ(2) = 38 м/с. 
Нормальное ускорение определим по формуле:

\[ {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\ \ \ (4)\ .{{a}_{n}}=\frac{{{38}^{2}}}{38}=38.
 \]

а_n = 38 м/с².
Тангенциальное ускорение найдем как вторую производную от s по t:

\[ \begin{align}
  & {{a}_{\tau }}=s(t)''=(2-6\cdot t+12\cdot {{t}^{2}})'=-6+24\cdot t\ \ \ (3). \\
 & {{a}_{\tau }}(2)=-6+24\cdot 2=42. \\
\end{align} \]

а_τ = 42 м/с². 
Угол, составляемый вектором полного ускорения со скоростью в момент времени t₁ = 2 c определим, как тангенс угла между нормальным и тангенциальным ускорением

\[ tg\alpha =\frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{\tau }}}.tg\alpha =\frac{38}{42}=0,9. \]

Ответ: 42°.