1) Сумма векторов определим по формуле:
\[ \begin{align}
& \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}(1). \\
& Ox:{{c}_{x}}={{a}_{x}}+{{b}_{x}}(2),\,Oy:{{c}_{y}}={{a}_{y}}+{{b}_{y}}(3), \\
& \left| {\vec{c}} \right|=\left| \vec{a}+\vec{b} \right|=\sqrt{c_{x}^{2}+c_{y}^{2}}(4). \\
& {{a}_{x}}=x-{{x}_{0}},{{a}_{x}}=1-5=-4,{{a}_{y}}=y-{{y}_{0}},{{a}_{y}}=6-4=2, \\
& {{b}_{x}}=x-{{x}_{0}},{{b}_{x}}=5-7=-2,{{b}_{y}}=y-{{y}_{0}},{{b}_{y}}=1-7=-6, \\
& {{c}_{x}}=-4+(-2)=-6,{{c}_{y}}=2+(-6)=-4. \\
& \left| {\vec{c}} \right|=\left| \vec{a}+\vec{b} \right|=\sqrt{{{(-6)}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}=\sqrt{52}=7,21. \\
\end{align} \]
2). Векторным произведением вектора
a на вектор
b называется вектор
c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах
a и
b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от
a к b вокруг вектора
c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора
c. Длину вектора
с определим по формуле:
\[ \begin{align}
& \left| {\vec{c}} \right|=\left| {\vec{a}} \right|\cdot \left| {\vec{b}} \right|\cdot \sin \theta (5).\left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}, \\
& \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{{{(-4)}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{20},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(-6)}^{2}}}=\sqrt{40}. \\
\end{align} \]
Угол между векторами (рис) определим по теореме косинусов, вектор
а и вектор
b отложим из одного пункта.
\[ \begin{align}
& {{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos \theta (6). \\
& \cos \theta =\frac{{{(a+b)}^{2}}-({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}{2\cdot a\cdot b},\ \cos \theta =\frac{{{(\sqrt{52})}^{2}}-({{(\sqrt{20})}^{2}}+{{(\sqrt{40})}^{2}})}{2\cdot \sqrt{20}\cdot \sqrt{40}}=\frac{-8}{40\cdot \sqrt{2}}. \\
& \sin \alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }\,(7). \\
& \left| {\vec{c}} \right|=\sqrt{20}\cdot \sqrt{40}\cdot \sqrt{1-{{(\frac{-8}{40\cdot \sqrt{2}})}^{2}}}=27,998=28. \\
\end{align} \]
Ответ: 7,21 м, 28 м
2.
