Диск радиуса

[Антон Огурцевич]

3.6. Диск радиуса R = 1 м начал вращаться вокруг своей оси так, что угол его поворота зависит от времени по закону φ = A∙(t/τ)² - B∙(t/τ)³. Через сколько секунд диск остановится, если τ = 1 с, А = 2 рад, В = 3 рад. Сделать рисунок.
а) 0,222 с; б) 0,333 с; в) 0,444 с; г) 0,555 с; д) 0,666 с;

[Сергей]

Решение.
По условию задачи известно угловое перемещение точек диска

\[ \varphi =A\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{2}}-B\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{3}},\varphi =2\cdot {{(\frac{t}{1})}^{2}}-3\cdot {{(\frac{t}{1})}^{3}},\varphi =2\cdot {{t}^{2}}-3\cdot {{t}^{3}}(1). \]

Первая производная от углового перемещения есть угловая скорость, диск остановится когда угловая скорость станет равна нулю

\[ \begin{align}
  & \omega (t)=\varphi (t)\prime =(2\cdot {{t}^{2}}-3\cdot {{t}^{3}})'=4\cdot t-9\cdot {{t}^{2}}(2). \\
 & \omega (t)=0, \\
 & 4\cdot t-9\cdot {{t}^{2}}=0, \\
 & t\cdot (4-9\cdot t)=0, \\
 & t=0,4-9\cdot t=0, \\
 & 9\cdot t=4,t=\frac{4}{9}. \\
\end{align} \]

Ответ: 0,444 с.