Частица начала своё движение из начала координат с нулевой начальной скоростью

[Антон Огурцевич]

3.4. Частица начала своё движение из начала координат с нулевой начальной скоростью, и её ускорение зависит от времени по закону a⁻(t) = i⁻∙A(t/τ) + j⁻∙B(t/τ)², где A, B – постоянная величина, i⁻, j⁻ – единичные орты в декартовой системе координат. Какая величина скорости будет у частицы в момент времени t = 1 с, если τ = 1 с. А = 3 м/с², В = 4 м/с². Сделать рисунок.
а) 1,00 м/с; б) 2,00 м/с; в) 3,00 м/с; г) 4,00 м/с; д) 5,00 м/с;

[Сергей]

Решение.
Частица начала своё движение из начала координат с нулевой начальной скоростью, и её ускорение зависит от времени по закону

\[ a(t)=A\cdot (\frac{t}{\tau })\vec{i}+B\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{2}}\vec{j},a(t)=3\cdot (\frac{t}{1})\vec{i}+4\cdot {{(\frac{t}{1})}^{2}}\vec{j},a(t)=3\cdot t\vec{i}+4\cdot {{t}^{2}}\vec{j}(1). \]

Величину скорости через 1 с определим по формуле

\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }^{2}}=\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2},\upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}}(2). \\
 & {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0}}+\int\limits_{0}^{t}{3\cdot tdt=}{{\upsilon }_{0}}+\left. 3\cdot \frac{1}{2}\cdot {{t}^{2}} \right|_{0}^{t}={{\upsilon }_{0}}+\frac{3}{2},{{\upsilon }_{0}}=0,{{\upsilon }_{x}}=\frac{3}{2}(3), \\
 & {{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0}}+\int\limits_{0}^{t}{4\cdot {{t}^{2}}dt=}{{\upsilon }_{0}}+\left. 4\cdot \frac{1}{3}\cdot {{t}^{3}} \right|_{0}^{t}={{\upsilon }_{0}}+\frac{4}{3},{{\upsilon }_{0}}=0,{{\upsilon }_{у}}=\frac{4}{3}(4), \\
 & \upsilon =\sqrt{{{(\frac{3}{2})}^{2}}+{{(\frac{4}{3})}^{2}}}=2. \\
\end{align}
 \]

Ответ: б) 2,00 м/с.