Тело вращается вокруг неподвижной оси

[Антон Огурцевич]

Задача №1. Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота от времени описывается законом φ = a∙t², где a – положительная постоянная. Найти средние значения его угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от 0 до t. Cредние значения нужно искать через интеграл. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Первая производная от углового перемещения есть угловая скорость, вторая ускорение

\[ \begin{align}
  & \varphi \text{ }=\alpha \cdot {{t}^{2}}(1). \\
 & \omega (t)=\varphi {{(t)}^{\prime }}=(\alpha \cdot {{t}^{2}}{)}'=2\cdot \alpha \cdot t(2). \\
 & ε(t)=\varphi (t)''=(\alpha \cdot {{t}^{2}})''=(2\cdot \alpha \cdot t)'=2\cdot \alpha (3). \\
\end{align} \]

Средним интегральным значением непрерывной функции f(х) на отрезке [a,b] называется число

\[ {{f}_{cp}}=\frac{1}{b-a}\cdot \int\limits_{a}^{b}{f(x)dx.} \]

Определим средние значения его угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от 0 до t через интеграл 

\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{cp}}=\frac{1}{t-0}\cdot \int\limits_{0}^{t}{2\cdot \alpha \cdot tdt}=\frac{2\cdot \alpha }{t-0}\cdot \left. \frac{1}{2}\cdot {{t}^{2}} \right|_{0}^{t}=\frac{2\cdot \alpha }{t-0}\cdot \frac{1}{2}\cdot {{t}^{2}}=\alpha \cdot t. \\
 & {{ε}_{cp}}=\frac{1}{t-0}\cdot \int\limits_{0}^{t}{2\cdot \alpha dt}=\frac{2\cdot \alpha }{t-0}\cdot \left. t \right|_{0}^{t}=\frac{2\cdot \alpha }{t-0}\cdot t=2\cdot \alpha . \\
\end{align}

 \]

Ответ: υ_ср = α∙t, ε_ср = 2∙α.