Решение.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела
J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела
J0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела
m на квадрат расстояния
d между осями.
У рамки 4 стороны (стержня). Момент инерции рамки складывается из моментов инерции каждого стержня. Момент инерции стрежня
АВ, с которым ось совпадает, равен нулю. Момент инерции стержня
СD параллельного оси вращения определяется по формуле:
\[ {{J}_{CD}}={{J}_{0}}+m\cdot {{d}^{2}},{{J}_{0}}=0,d=l,{{J}_{CD}}=m\cdot {{l}^{2}}(1). \]
Определим момент инерции стержней
ВС и АD. Стержни перпендикулярны оси вращения и ось вращения проходит через концы стержней
\[ \begin{align}
& {{J}_{BC}}={{J}_{0}}+m\cdot {{d}^{2}},d=\frac{l}{2},{{J}_{0}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}, \\
& {{J}_{BC}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+m\cdot {{(\frac{l}{2})}^{2}},{{J}_{BC}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{12}+\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{4},{{J}_{BC}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{3}(2). \\
& {{J}_{BC}}={{J}_{AD}},{{J}_{AD}}=\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{3}(3). \\
\end{align} \]
Определим момент инерции квадратной рамки которая вращается равномерно вокруг оси, проходящей через одну из сторон
\[ \begin{align}
& J={{J}_{CD}}+{{J}_{BC}}+{{J}_{AD}},J=m\cdot {{l}^{2}}+\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{3}+\frac{m\cdot {{l}^{2}}}{3}=\frac{5\cdot m\cdot {{l}^{2}}}{3}(4). \\
& {{J}_{}}=\frac{5\cdot 1\cdot {{0,2}^{2}}}{3}=0,067. \\
\end{align} \]
Определим момент импульса квадратной рамки он равен произведению момента инерции относительно оси вращения на угловую скорость вращения
\[ L=J\cdot \omega (5).\,L=0,067\cdot 5=0,33. \]
Ответ: 0,067 кг∙м
2, 0,33 м
2∙кг/с.
