В центре свободно вращающегося диска

[Антон Огурцевич]

6. В центре свободно вращающегося диска, имеющего радиус 1 м и момент инерции 75 кг∙м², стоит человек массой 60 кг. Во сколько раз изменится кинетическая энергия системы, если человек перейдёт из центра диска на край? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Когда человек находится в центре диска его момент инерции равен нулю, а кинетическую энергию системы диск человек в этом случае определим по формуле

\[ {{E}_{k1}}=\frac{{{J}_{1}}\cdot \omega _{1}^{2}}{2}(1).
 \]

J₁ - момент инерции диска, ω₁ - угловая скорость свободно вращающегося диска если человек стоит в центре диска.
Когда человек перейдет на край диска то кинетическую энергию системы диск человек в этом случае определим по формуле

\[ {{E}_{k2}}=\frac{{{J}_{2}}\cdot \omega _{2}^{2}}{2}(2). \]

J₂ - момент инерции диска и человека на краю диска, ω2 - угловая скорость свободно вращающегося диска если человек перешел на край диска.
Запищим формулу для определения отношения энергий в первом и втором состоянии:

\[ \frac{{{E}_{k1}}}{{{E}_{k2}}}=\frac{\frac{{{J}_{1}}\cdot \omega _{1}^{2}}{2}}{\frac{{{J}_{2}}\cdot \omega _{2}^{2}}{2}}=\frac{{{J}_{1}}\cdot \omega _{1}^{2}}{{{J}_{2}}\cdot \omega _{2}^{2}}=\frac{{{J}_{1}}}{{{J}_{2}}}\cdot {{(\frac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}})}^{2}}(3). \]

Применим закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке, и состоит в следующем:
Если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.
Момент импульса определяется по формуле:

L = J∙ω   (4).
J₁∙ω₁  =  J₂∙ω₂   (5).

Момент инерции скалярная величина. Определим суммарный момент инерции в каждом случае относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр большего диска.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J₀ относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.
Определим отношение угловых скоростей в каждом случае и подставим в (3)

\[ \begin{align}
  & {{J}_{1}}={{J}_{0}}+{{J}_{01}},{{J}_{1}}={{J}_{0}}+m\cdot {{d}^{2}},d=0,{{J}_{1}}={{J}_{0}}(5). \\
 & {{J}_{2}}={{J}_{0}}+{{J}_{01}},{{J}_{2}}={{J}_{0}}+m\cdot {{d}^{2}},d=R,{{J}_{2}}={{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}(6). \\
 & {{\omega }_{1}}\cdot {{J}_{0}}={{\omega }_{2}}\cdot ({{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}).\frac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}=\frac{{{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}}{{{J}_{0}}}(7). \\
 & \frac{{{E}_{k1}}}{{{E}_{k2}}}=\frac{{{J}_{0}}}{{{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}}\cdot {{(\frac{{{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}}{{{J}_{0}}})}^{2}}=\frac{{{J}_{0}}+m\cdot {{R}^{2}}}{{{J}_{0}}}(8). \\
 & \frac{{{E}_{k1}}}{{{E}_{k2}}}=\frac{75+60\cdot {{1}^{2}}}{75}=1,8. \\
\end{align}
 \]

Ответ: Уменьшится в 1,8 раза.